1 Квазистационарные токи
2 Дифференциальные уравнения для RC -цепи
3 Зависимость тока зарядки и разрядки конденсатора от времени
Основные понятия по теме
Если подключить конденсатор к источнику постоянного тока (рисунок 8.1), то напряжение на нем Uc экспоненциально возрастает, асимптотически стремясь к ЭДС источника. При этом сила тока I (направление тока указано на рисунке 8.1), проходящего через сопротивление R, убывает по экспоненте, уменьшаясь до нуля.
Процесс зарядки конденсатора можно описать с помощью закона Ома для полной цепи:
(8.1)
согласно которому сторонняя ЭДС равна сумме падений напряжения на всех участках цепи (внутренним сопротивлением источника пренебрегаем). В выражении (8.1) учтено, что напряжение Uc на обкладках конденсатора связано с зарядом Q соотношением Uc = Q/C, где С – емкость конденсатора.
| - + |
| Е |
| I |
| R |
| C |
| 1 K 2 |
| Рисунок 8.1 – Принципиальная схема заряда и разряда конденсатора |
Дифференцируя (8.1) по времени и принимая во внимание, что сила тока равна скорости изменения заряда на обкладках
получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
(8.2)
Решение уравнения (8.2) имеет вид:
(8.3)
где постоянная интегрирования I0, равная силе тока в момент времени t = 0, может быть определена из начальных условий. Поскольку в начальный момент времени Q = 0, (заряд на обкладках не успел накопиться), то из (8.1) следует:
. (8.4)
При разрядке конденсатора соответственно справедливы соотношения
(направление тока изменилось на противоположное, происходит уменьшение заряда на обкладках, начальное напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника). В результате зависимость силы тока от времени остается неизменной.
Из уравнения (8.3) находим закон изменения напряжения UR на сопротивлении R и напряжения на конденсаторе UC (рисунок 8.2):
(8.5)
(8.6)
| а) |
| б) |
| I |
| t |
|
| 0,368 I0 |
| t |
| UR |
| t |
| UC |
| U |
| ε |
| t |
| 0.63 ε |
Рисунок 8.2 – а) зависимость силы тока в цепи от времени;
б) изменение напряжения UR на сопротивлении R в зависимости
от времени; изменение напряжения на емкости UC в зависимости
от времени (осциллограмма)
Для характеристики средней скорости изменения силы тока в цепи при зарядке и разрядке конденсатора вводится в рассмотрение время релаксации системы:
(8.7)
в течение которого сила тока уменьшается в е раз, т. е. сила тока при t = t составляет 0,368 от максимального значения 
Формула зависимости силы тока I и напряжений UR и UC от времени при разрядке конденсатора через сопротивление R при отключенном источнике тока находится из уравнения UС = IR. Студентам самим предоставляется возможность выполнить решение этой задачи и убедиться в том, что UС , I и UR при разрядке конденсатора изменяются по одному и тому же закону: ~exp(-t/RC). Если прологарифмировать выражение (8.3), получаем:
(8.8)
то есть изменение логарифма силы тока прямо пропорционально времени. При этом угловой коэффициент прямой, графически выражающий зависимость lnI = f(t), связан со временем релаксации обратной зависимостью tga = 1/t. Точка пересечения прямой с осью ординат дает значение логарифма начальной силы тока (рисунок 8.3).
| t |
| ln I |
| ln I0 |
| a |
Рисунок 8.3 – Определение времени релаксации
из графика lnI = f(t)
На практике часто используется параллельное или последовательное соединение конденсаторов. Емкость нескольких параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей:
В случае последовательного соединения конденсаторов справедлива такая же формула, как при параллельном соединении резисторов:
где N – количество соединенных конденсаторов.
Вопросы для самоконтроля
1 Что такое квазистационарные токи.
2 Запишите дифференциальные уравнения для RC- цепи.
3 Поясните зависимость тока зарядки и разрядки конденсатора от времени.
4 Как определить t цепи из осциллограммы.
5 Рассчитайте емкости при параллельном и последовательном соединении конденсаторов.
6 Поясните осциллограммы зарядки-разрядки конденсатора, приведенные на рисунке 8.5.
Лабораторная работа 8
Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора
Цель работы: усвоение понятия об электрической емкости, изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора осциллографическим методом, определение времени релаксации процесса и емкости конденсатора.
Приборы и принадлежности: кассета ФПЭ–ПИ/09, магазин сопротивлений (2 шт), магазин емкостей, источник питания, генератор низкочастотный, осциллограф С1-117.
Описание установки
| R2 |
| C |
| Y |
| “PO” |
| R1 |
| ГЗ 102 |
| ФПЭ ПИ/09 “PQ” |
Рисунок 8.4 – Блок-схема установки
С низкочастотного генератора синусоидальный сигнал подается на кассету ПИ, с выхода которой прямоугольные импульсы через два магазина сопротивлений подаются на магазин емкостей. Для того, чтобы получить осциллограммы зарядки и разрядки конденсатора, необходимо через постоянные промежутки времени подключать конденсатор к цепи и сразу же его отключать. Причем частота переключения должна быть такой, при которой незаметно было бы мерцание изображения на экране. Роль такого переключателя в данной работе выполняют прямоугольные импульсы, получаемые с помощью кассеты ФПЭ-ПИ/09 или непосредственно с выхода генератора, поскольку большинство генераторов имеют синусоидальный и прямоугольный выходной сигналы.
Синусоидальный сигнал (1–3 В) подается от входных гнезд Х1, Х2 через разделительный конденсатор С1 на компаратор напряжения (микросхема серии К554СА3Б). Выходной сигнал компаратора управляется усилительным каскадом. С выходных гнезд Х3, Х4 снимается сигнал прямоугольной формы положительной полярности с амплитудой 11,5 В.
Ход работы
1 Используя рисунок 8.4, соберите рабочую схему. Подключите к разъему кассеты ФПЭ-ПИ/09 кабель источника питания.
