Задачи линейного программирования решить методом штрафных функций, выбрав одно из заданных М. М=0,0001, М=0,001, М=0,01, M=1, М=10, М=100, …Учесть, что для задачи линейного программирования штрафные функции необходимо подбирать так, чтобы избегать узких гребней, затрудняющих применение методов поиска безусловных экстремумов. Параметр М в процессе решения изменяется от малой величины до большой. Это гарантирует отсутствие узких гребней.
1. Найти max z = 2x1 + 3x2
при условиях: x1 + 4x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
2. Найти max z = 2x1 + 3x2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
- x1 + 2x2 ≤ 2
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
3. Найти max z = x1 + 5x2
при условиях: 2x1 + x2 ≥ 2,0
3x1 + x2 ≤ 4
x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
4. Найти min z = x1 - 3x1
при условиях: x1 - 2x2 ≤ 8
x2 ≤ 3
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
5. Найти max z = x1 + 4x2
при условиях: x1 + x2 ≤ 6
x1 - x2 ≤ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
6. Найти min z = 2x1 - 4x2
при условиях: x1 - x2 ≤ 3
x1 ≤ 5
x1 + 2x2 ≥ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
7. Найти min z = - 2x1 - 3x2
при условиях: 2x1 - 3x2 ≤ 0
x2 ≤ 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
8. Найти max z = - 2x1 - 2x2 + 2
при условиях: x1 + x2 ≥ 1
2x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
9. Найти max z = - 2x1 + 2x2 + 3
при условиях: x1 + 2x2 ≥ 3
2x1 - x2 ≤ 1
x1 + x2 ≤ 2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
10. Найти min z = 2x1 + 3x2 - 1
при условиях: 2x1 + x2 ≤ 3
-x1 + 2x2 ≥ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
11. Найти min z = 4x1 + x2 + 1
при условиях: x1 + x2 ≤ 10
2x1 - x2 ≤ 10
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
12. Найти max z = - 8x1 - 2 x2 + 1
при условиях: 5x1 + x2 ≥ 6
3x1 - 2x2 ≤ 1
x1 + 2x2 ≥ 3
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
13. Найти max z = 4x1 + x2 + 2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
14. Найти max z = 9x1 + 4x2 + 2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
15. Найти max z = 3x1 - 2 x2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
16. Найти max z = 4x1 + 5x2 - 2
при условиях: x1 + 3x2 ≤ 6
x1 + x2 ≤ 2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
17. Найти max z = 5x1 + 3x2 – 2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + 2x2 ≤ 6
-x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
18. Найти max z =3 x1 + 5x2 – 2
при условиях: 2x1 + x2 ≥ 2
2x1 + x2 ≤ 4
x2 ≤ 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
19. Найти min z = 3x1 - 3x2 + 2
при условиях: x1 - 2x2 ≤ 8
x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
20. Найти max z = 2x1 + 4x2 -3
при условиях: x1 + x2 ≤ 5
x1 - x2 ≤ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
21 Найти min z = 2x1 - 4x2 +5
при условиях: x1 - x2 ≤ 3
x1 ≤ 4
x1 + 2x2 ≥ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
22. Найти min z = 4x1 - 2x2 + 2
при условиях: 2x1 - 3x2 ≤ 0
x2 ≤ 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
23. Найти max z =2x1 - 2x2 + 2
при условиях: x1 + x2 ≥ 1
2x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
24. Найти max z = 4x1 + 2x2 + 3
при условиях: x1 + 2x2 ≥ 3
2x1 - x2 ≤ 1
x1 + x2 ≤ 3
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
25. Найти min z = -x1 +2x2 + 5
при условиях: 2x1 + x2 ≤ 4
-x1 + 2x2 ≥ 1
x2 ≤ 2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
26. Найти min z = - 4x1 + 2x2+ 10
при условиях: x1 + x2 ≤ 6
2x1 - x2 ≤ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
27. Найти max z = 2x1 + 4x2 - 4
при условиях: 5x1 + x2 ≥ 1
3x1 - 2x2 ≤ 2
x1 + 2x2 ≥ 3
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
28. Найти max z = 4 + 2x1+ 3x2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
29. Найти max z = 2x1 – x2 + 5
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
30. Найти max z = - 3x1 - 2 x2 + 4
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Для заметок
Учебное издание
Лядина Надежда Григорьевна
Ермакова Елена Анатольевна
Уразбахтина Людмила Валерьевна
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ АПК
Нелинейное и выпуклое программирование
Учебное пособие
Издано в авторской редакции
Корректура авторов
Отпечатано с авторского набора
Подписано в печать. Формат 60х841/16
Усл. печ.л.. Уч. изд. л.. Усл. кр.-отт.
Тираж 150 экз. Изд.21. Зак.
Издательство РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева
127550, Москва, ул. Тимирязевская, 44
Тел.: 977-00-12, 977-40-64
[1] Материал об экстремуме функции из [5]
«Экстремум» –латинское слово, означающее «крайнее».
[2] Если матрица, составленная из производных второго порядка, не является ни положительно определенной, ни отрицательно определенной в точке Х, то точка Х может оказаться седловой точкой
[3] Гессе Людвиг Отто (1811-1874) – немецкий математик. Основные работы относятся к геометрии (аналитической, дифференциальной), линейной алгебре и вариационному исчислению
[4] Сильвестр Джеймс Джозеф (1814-1897) – английский математик. Известен своими работами в теории матриц, теории чисел и комбинаторике.
[5] Лагранж, Жозеф Луи (1736-1813) – выдающийся французский математик и механик. Он занимался теорией обычных и дифференциальных уравнений, квадратичными иррациональностями, ввел современное обозначение производной и первым стал использовать термин «первообразная».
[6] Карл Вейерштрасс (1815-1897) – выдающийся немецкий математик.
[7] Альберт Уильям Таккер (28 ноября 1905 – 25 января 1995) – знаменитый канадский математик.
Гарольд Уильям Кун (род. 29 июля 1925) – знаменитый математик США.
[8] Если исходное допустимое решение сразу не определяется, то можно применить алгоритм шага 3.
[9] «лучшее» допустимое решение на минимум целевой функции – это то, которое имеет меньшее значение целевой функции по сравнению с предыдущим решением.
[10] Транскрипция слова Вульфа может быть разной: Вулфа, Волфа, Вольфа.
Маргарита Жозефина Штраусс Франк – француженка по рождению, математик США.
Филипп Старр Вольф (род. 11 августа 1927) – знаменитый математик США.
