Тесты - выпуклое программирование

1*. Множество точек называется выпуклым, если

1 – оно является многоугольником;

2 – оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки;

3 – большинство точек отрезка принадлежит данному множеству;

4 – отрезок, соединяющий любые две несовпадающие точки множества, целиком принадлежит этому множеству.

2. Функция называется выпуклой, если

1 – она является строго вогнутой;

2 – она определена на выпуклом множестве W;

3 – она определена на выпуклом множестве W и выполняется условие для любых точек х₁,х₂ Î W и для любого t Î [0,1];

4 - она определена на выпуклом множестве W и выполняется условие F(αX₁ + (1-α/2)X₂) ≤ αF(X₁) + (1-α/2)F(X₂) для любых точек х₁,х₂ Î W и для любого t Î [0,1].

3. Функция называется гладкой, если

1 – непрерывны ее первые производные;

2 – непрерывны ее первая и вторая производные;

3 – на переменные наложено условие неотрицательности.

4. Какая функция имеет локальный максимум?

1 – если в окрестностях точки Х* выполняется неравенство любая точка, принадлежащая окрестности любого, в том числе бесконечно малого радиуса;

2 – если в окрестностях точки Х* выполняется неравенство любая точка, принадлежащая области определения функции;

3 – если в окрестностях точки Х* выполняется неравенство любая точка, принадлежащая окрестности любого, в том числе бесконечно малого радиуса.

5. Какая функция имеет абсолютный максимум?

1 – если в окрестностях точки Х* выполняется неравенство любая точка, принадлежащая окрестности бесконечно малого радиуса;

2 – если в окрестностях точки Х* выполняется неравенство любая точка, принадлежащая области определения функции;

3 – если в окрестностях точки Х* выполняется неравенство любая точка, принадлежащая определенному множеству.

6. Задача называется выпуклой, если она имеет

1 – выпуклую целевую функцию;

2 – выпуклую систему ограничений и выпуклую целевую функцию;

3 – выпуклую целевую функцию и нелинейную систему ограничений;

7. «Если область D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция
z = f(x) достигает в этой области своего наибольшего или наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области».

1 – теорема Ляпунова;

2 – теорема Неймана;

3 – теорема Вейерштрасса;

4 – теорема Лагранжа.

8*. Градиентные методы:

1 – наискорейшего подъема;

2 – штрафных функций;

3 –наискорейшего спуска;

4 – локального случайного поиска;

5 – нелокального случайного поиска.

9. В чем отличие метода локального случайного поиска от метода нелокального случайного поиска?

1 – в формировании случайного вектора ;

2 – в формировании случайного вектора

;

3 – в ограничении количества проводимых испытаний;

4 – в задании начального вектора Х₀.

10*. В чем отличие метода штрафных функций при решении задачи выпуклого программирования и задачи линейного программирования?

1 – определяется число М для задания функции штрафов, формируется массив случайных чисел, находится функция штрафов, определяется конечное число неудачных испытаний;

2 – задаются числа М_j для задания функции штрафов для каждого ограничения, формируется массив случайных чисел, находится функция штрафов, определяется конечное число неудачных испытаний;

3 – для задачи линейного программирования штрафные функции подбираются так, чтобы избежать узких гребней, затрудняющих применение методов поиска безусловных экстремумов;

4 – параметр М в процессе решения задачи меняется от малой величины до большой.

11. Все методы решения, основанные на исследовании функций в небольшой окрестности последовательно выбираемых точек, называют

1 – методами отсечения;

2 – методами поиска;

3 – методами возможных направлений;

12. Градиентом функции называется

1 – вектор, проекциями которого на координатные оси служат соответствующие частные производные, т.е. Ñ F = ;

2 – вектор, направление которого указывает скорость убывания функции в этой точке;

3 – отрезок, ограничивающий область определения функции.

13. Функция называется сепарабельной, если

1 – ее можно представить в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от одной переменной;

2 – ее можно представить в виде квадратичной функции;

3 – она содержит константу.

14*. Приближенное решение задач выпуклого программирования градиентным методом заключается

1 – в задании «выгодного» направления приближения к оптимальному решению;

2 – в нахождении оптимального решения за наименьшее число шагов;

3 – в поиске точки начального приближения;

4 – в нахождении приближенного значения оптимального решения в определенной области решения.

15*. Градиентный метод называется «методом наискорейшего спуска», если

1 – величина длины шага выбирается так, что приращение функции при перемещении из точки Х₀ в точку Х₁ будет наибольшим при решении задачи на минимум;

2 – величина длины шага выбирается так, что приращение функции при перемещении из точки Х₀ в точку Х₁ будет наименьшим при решении задачи на минимум;

3 – величина длины шага выбирается так, что приращение функции при перемещении из точки Х₀ в точку Х₁ будет наименьшим при решении задачи на минимум и наибольшим при решении задачи на максимум.

16. Для задач выпуклого программирования справедлива теорема: необходимым и достаточным условием оптимальности вектора является существование вектора такого, что пара будет седловой для соответствующей функции Лагранжа, т.е. при всех , .

1 – теорема двойственности;

2 – теорема Лагранжа;

3 – теорема Куна–Таккера;

4 – теорема Эйлера.