Лекции.Орг


Поиск:




Пункт 4. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница




Пусть на отрезке [ a, b ] (b > a) задана непрерывная функция y = f (x), принимающая на этом отрезке неотрицательные значения: при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).

Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x 0 = a, x 1 , x 2 , …, xn -1 = a, xn = b на n частей [ x 0 , x 1], [ x 1 , x 2], …, [ xi -1 , xi ], …, [ xn -1 , xn ]; символом будем обозначать длину i -го отрезка: . На каждом из отрезков [ xi -1 , xi ] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника Pi с основанием [ xi -1 , xi ] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S ступ: .

S ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками Pi, i = 1,2,…, n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между S ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.

Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x 0 , x 1], [ x 1 , x 2], …, [ xi -1 , xi ], …, [ xn -1 , xn ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [ xi -1 , xi ] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой.

Предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ xi -1 , xi ], ни от выбора точек , называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается , где функция f (x) называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

.

Свойства определенного интеграла:

1. , если b=a.

2. .

3. .

4. Если y = f (x) интегрируема по отрезку [ a, b ] и точка c принадлежит этому отрезку, то .

5. Если и , и функции f (x), g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то .

6. Если на отрезке [ a, b ] функция удовлетворяет неравенству , то .

7. Если функция f (x) интегрируема по отрезку [ a, b ], то .

8. ( Теорема о среднем ) Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка , такая что .

Геометрический смысл определённого интеграла. Если f (x) >0 на отрезке [ a, b ], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).

Формула Ньютона-Лейбница.

Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], и F (x) - некоторая первообразная функции , то .





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-11-23; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 647 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Лучшая месть – огромный успех. © Фрэнк Синатра
==> читать все изречения...

782 - | 744 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.