Функция 
называется возрастающей на интервале 
, если для любых x 1 и x 2 из этого интервала, для которых 
, верно неравенство 
.
Функция называется убывающей на интервале , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала, для которых , верно неравенство 
.
Необходимое условие возрастания функции. Если функция дифференцируема и возрастает на интервале , то 
для всех 
из этого интервала.
Необходимое условие убывания функции. Если функция дифференцируема и убывает на интервале , то 
для всех из этого интервала.
Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Если во всех точках этого интервала 
, то функция возрастает на этом интервале, а если 
, то функция убывает на этом интервале.
Точка x = x 0 называется точкой максимума, а число 
— максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x 0, не совпадающих с x 0, выполняется неравенство 
.
Точка x = x 0 называется точкой минимума, а число — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x 0, не совпадающих с точкой x 0, выполняется неравенство 
.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие существования экстремума
Если x 0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
Достаточное условие существования экстремума
Если функция непрерывна в точке x = x 0, дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x 0 производная 
меняет знак, то x = x 0 — точка:
а) — максимум, если , при 
и , при 
.
б) — минимум, если , при и , при .
Число называется наибольшим значением функции на отрезке 
, если для всех из этого отрезка выполняется неравенство 
; число называется наименьшим значением функции на отрезке , если для всех из этого отрезка выполняется неравенство 
.
Функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение в точках экстремума или на границе. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке руководствуются следующим правилом: находят все критические точки функции (производная равна нулю), лежащие внутри отрезка, и находят значения функции в этих точках и на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет наибольшим, а наименьшее из этих значений — наименьшим значением функции на отрезке.
Пример.
27. Найти наименьшее и наибольшее значение функции: 
на отрезке 
.
Решение.
Находим 
и приравниваем к нулю: 
или 
.
Решая уравнение, находим критические точки 
, причем обе лежат внутри отрезка.
Находим значение функции 
. Наибольшее значение равно 4, а наименьшее -5.
Если график функции имеет касательную в точке x = x 0, и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x 0; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.
График называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Если функция дважды дифференцируема на интервале и для каждого 
, то график функции является выпуклым (вогнутым) на этом интервале.
Точка 
называется точкой перегиба графика функции , если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.
Необходимое условие точки перегиба. Если x = x 0 — точка перегиба графика функции , то 
или не существует.
Достаточные условия точки перегиба. Если функция дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку 
меняет знак, то x 0 — точка перегиба графика функции .
Асимптотой данной кривой называется такая прямая, при которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат.
Прямая x = x 0 является вертикальной асимптотой, если 
.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
, где 
.
План исследования функции
Если требуется построить график функции , то надо предварительно исследовать эту функцию. Для исследования рекомендуется следующий план:
1) найти область определения 
;
2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;
3) найти асимптоты;
4) найти точки пересечения графика с осями координат;
5) определить четность 
или нечетность 
, т.е. является ли график этой функции симметричным относительно оси ординат, или начала координат, или же такой симметрии нет;
6) найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания;
7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.
Если в каких-то местах ход графика остается неясным, то находят дополнительные точки на этом графике.
Пример.
28. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение:
1. 
2. Точка разрыва 
, вертикальная асимптота .
3. Найдем невертикальную асимптоту .
Итак, уравнение невертикальной асимптоты 
.
4. При 
находим точку пересечения с осью ординат 
. При 
получаем уравнение 
. Это уравнение не имеет решений 
, следовательно, график не имеет пересечения с осью абсцисс.
5. Проверим, является ли функция четной или нечетной.
Функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому у ее графика нет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
6. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
Найдем критические точки, приравняв производную нулю:
Критические точки и 
. Эти точки разбивают область определения функции на четыре интервала. Рассмотрим результат исследования в таблице.
| х | (–  ;-2)
| –2 | (–2;–1) | (–1;0) | (0;+ )
| |
| y' | + | – | – | + | ||
| y | возрастает | max | убывает | убывает | min | возрастает |
7. Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Итак, 
не обращается в нуль ни в одной точке, следовательно, точек перегиба нет. Построим таблицу:
| х | (– ;–1)
| (–1;+ )
|
| y' | – | + |
| y | 
| 
|
Занесем все данные в одну общую таблицу:
| х | (– ;–2)
| –2 | (–2;–1) | (–1;0) | (–1;+ )
| |
| y' | + | – | – | + | ||
| y' | – | – | + | + | ||
| y | возрастает
| max –2 | убывает
| убывает
| min 2 | возрастает
|
Учитывая проведенное исследование, построим график:
