Пункт 4. Приложения производной

Функция называется возрастающей на интервале , если для любых x ₁ и x ₂ из этого интервала, для которых , верно неравенство .

Функция называется убывающей на интервале , если для любых x ₁ и x ₂ из этого интервала, для которых , верно неравенство .

Необходимое условие возрастания функции. Если функция дифференцируема и возрастает на интервале , то для всех из этого интервала.

Необходимое условие убывания функции. Если функция дифференцируема и убывает на интервале , то для всех из этого интервала.

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Если во всех точках этого интервала , то функция возрастает на этом интервале, а если , то функция убывает на этом интервале.

Точка x = x ₀ называется точкой максимума, а число — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x ₀, не совпадающих с x ₀, выполняется неравенство .

Точка x = x ₀ называется точкой минимума, а число — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x ₀, не совпадающих с точкой x ₀, выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума

Если x ₀ — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

Достаточное условие существования экстремума

Если функция непрерывна в точке x = x ₀, дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x ₀ производная меняет знак, то x = x ₀ — точка:

а) — максимум, если , при и , при .

б) — минимум, если , при и , при .

Число называется наибольшим значением функции на отрезке , если для всех из этого отрезка выполняется неравенство ; число называется наименьшим значением функции на отрезке , если для всех из этого отрезка выполняется неравенство .

Функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение в точках экстремума или на границе. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке руководствуются следующим правилом: находят все критические точки функции (производная равна нулю), лежащие внутри отрезка, и находят значения функции в этих точках и на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет наибольшим, а наименьшее из этих значений — наименьшим значением функции на отрезке.

Пример.

27. Найти наименьшее и наибольшее значение функции: на отрезке .

Решение.

Находим и приравниваем к нулю: или .

Решая уравнение, находим критические точки , причем обе лежат внутри отрезка.

Находим значение функции . Наибольшее значение равно 4, а наименьшее -5.

 

Если график функции имеет касательную в точке x = x ₀, и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x ₀; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.

График называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Если функция дважды дифференцируема на интервале и для каждого , то график функции является выпуклым (вогнутым) на этом интервале.

Точка называется точкой перегиба графика функции , если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.

Необходимое условие точки перегиба. Если x = x ₀ — точка перегиба графика функции , то или не существует.

Достаточные условия точки перегиба. Если функция дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку меняет знак, то x ₀ — точка перегиба графика функции .

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, при которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат.

Прямая x = x ₀ является вертикальной асимптотой, если .

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

, где .

План исследования функции

Если требуется построить график функции , то надо предварительно исследовать эту функцию. Для исследования рекомендуется следующий план:

1) найти область определения ;

2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;

3) найти асимптоты;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) определить четность или нечетность , т.е. является ли график этой функции симметричным относительно оси ординат, или начала координат, или же такой симметрии нет;

6) найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания;

7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.

Если в каких-то местах ход графика остается неясным, то находят дополнительные точки на этом графике.

Пример.

28. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1.

2. Точка разрыва , вертикальная асимптота .

3. Найдем невертикальную асимптоту .

Итак, уравнение невертикальной асимптоты .

4. При находим точку пересечения с осью ординат . При получаем уравнение . Это уравнение не имеет решений , следовательно, график не имеет пересечения с осью абсцисс.

5. Проверим, является ли функция четной или нечетной.

Функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому у ее графика нет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

6. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

Найдем критические точки, приравняв производную нулю:

Критические точки и . Эти точки разбивают область определения функции на четыре интервала. Рассмотрим результат исследования в таблице.

х	(– ;-2)	–2	(–2;–1)	(–1;0)		(0;+ )
y'	+		–	–		+
y	возрастает	max	убывает	убывает	min	возрастает

7. Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Итак, не обращается в нуль ни в одной точке, следовательно, точек перегиба нет. Построим таблицу:

х	(– ;–1)	(–1;+ )
y'	–	+
y

Занесем все данные в одну общую таблицу:

х	(– ;–2)	–2	(–2;–1)	(–1;0)		(–1;+ )
y'	+		–	–		+
y'	–		–	+		+
y	возрастает	max –2	убывает	убывает	min 2	возрастает

Учитывая проведенное исследование, построим график: