Понятие производной функции и ее геометрический смысл.
Производные обратной и сложной функции.
Правила и формулы дифференцирования.
Приложения производной функции.
Пункт 1. Понятие производной функции и ее геометрический смысл.
Пусть функция 
определена на промежутке 
. Точка 
- произвольная точка из области определения функции, 
- приращение функции в точке 
, вызванное приращением 
независимой переменной 
.
Производной функции по независимой переменной в точке 
, называется предел отношения приращения функции 
к приращению 
при стремлении к нулю, т.е.
Обозначение: 
Дифференцирование - операция нахождения производной.
Чтобы вычислить производную функции в точке хо, нужно в общее выражение производной вместо независимой переменной х подставить числовое значение
х = хо, т.е. вычислит значение f’(xo). Таким образом, производная в данной точке хо есть число.
Геометрический смысл производной: Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке 
и ее уравнение имеет вид 
.
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Рассмотрим приращение функции в этой точке: 
. Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение можно записать в виде 
, где 
- приращение независимой переменной,
А – постоянная, не зависящая от , 
- бесконечно малая функция при 
.
Дифференциалом функции в точке называется линейная по часть 
приращения 
. Дифференциал обозначается 
, то есть 
.
Другими словами, дифференциал функции выражается формулой 
.
Производной второго порядка от функции 
называется производная от ее производной: 
. Аналогично определяют производную любого порядка: 
.
Пункт 2. Производные обратной и сложной функций.
Пусть 
- функция, дифференцируемая в точке 
, 
- функция, дифференцируемая в точке , причем 
. Тогда 
- сложная функция независимого переменного 
, дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле 
.
Обычно 
называют внешней функцией, а 
- внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.
Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на 
. Пусть также в точке 
производная 
. Тогда в точке 
определена дифференцируемая функция 
, которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле 
.
Пункт 3. Правила и формулы дифференцирования.
Правила дифференцирования
Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (с) ' = 0,
2) (cu) ' = cu';
3) (u+v)' = u'+v';
4) (uv)' = u'v+v'u;
5) (u/v)' = (u'v-v'u)/v2;
Формулы дифференцирования
1. (un)' = n un-1 u'
2. (au)' = au lna u'.
3. (eu)' = eu u'.
4. (loga u)' = u'/(u ln a).
5. (ln u)' = u'/u.
6. (sin u)' = cos u u'.
7. (cos u)' = - sin u u'.
8. (tg u)' = 1/ cos2u u'.
9. (ctg u)' = - u' / sin2u.
10. (arcsin u)' = u' / 
.
11. (arccos u)' = - u' / .
12. (arctg u)' = u'/(1 + u2).
13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u2).
Примеры:
Вычислите производную функции.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
8. 
9. 
10. 
.
Вычислите производную сложной функции.
11. 
, где 
.
12. 
, где 
.
13. 
, где 
.
14. 
, где 
.
15. 
, где 
.
16. 
, где 
.
17. 
18. 
19. 
20. 
Вычислить вторую производную функции.
21. 
22. 
23. 
|
. 
Вычислить дифференциал функции.
24. 
; 
.
25. 
26. 
;
