Тема 2.2. Дифференциальное исчисление

Понятие производной функции и ее геометрический смысл.

Производные обратной и сложной функции.

Правила и формулы дифференцирования.

Приложения производной функции.

Пункт 1. Понятие производной функции и ее геометрический смысл.

Пусть функция определена на промежутке . Точка - произвольная точка из области определения функции, - приращение функции в точке , вызванное приращением независимой переменной .

Производной функции по независимой переменной в точке , называется предел отношения приращения функции к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Обозначение:

Дифференцирование - операция нахождения производной.

Чтобы вычислить производную функции в точке х_о, нужно в общее выражение производной вместо независимой переменной х подставить числовое значение

х = х_о, т.е. вычислит значение f’(x_o). Таким образом, производная в данной точке х_о есть число.

Геометрический смысл производной: Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке и ее уравнение имеет вид .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Рассмотрим приращение функции в этой точке: . Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение можно записать в виде , где - приращение независимой переменной,

А – постоянная, не зависящая от , - бесконечно малая функция при .

Дифференциалом функции в точке называется линейная по часть приращения . Дифференциал обозначается , то есть .

Другими словами, дифференциал функции выражается формулой .

Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной: . Аналогично определяют производную любого порядка: .

Пункт 2. Производные обратной и сложной функций.

Пусть - функция, дифференцируемая в точке , - функция, дифференцируемая в точке , причем . Тогда - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле .

Обычно называют внешней функцией, а - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .