Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Для степенного ряда а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+… возможны только три случая: 1) ряд сходится в единственной точке x=0; 2) ряд сходится для всех значений x; 3) существует такое R>0, что ряд сходится для всех значений x из интервала (-R, R) и расходится для всех значений x вне отрезка [-R,R]. Интервал (-R, R) называют интервалом сходимости ряда а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…, а число R – радиусом сходимости этого ряда. Если существует предел D= , отличный от нуля, то радиус сходимости степенного ряда а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+… равен .

 

Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости.

Пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R, R) в степенной ряд f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…. Рассмотрим степенной ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+…, полученный почленным дифференцированием ряда f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…. Тогда: 1) ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+… имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…; 2) на всем интервале (-R, R) функция f(x) имеет производную f`(x), которая разлагается в степенной ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+….

Если функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R, R), то она интегрируема в этом интервале. Интервал от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.

 

Ряды Тейлора (Маклорена)

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x=0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Степенной ряд называют рядом Маклорена для функции f(x).

 

Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена

Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема в интервале (-r, r). Если существует такая константа М, что во всех точках указанного интервала выполняются неравенства , то в этом интервале ряд Маклорена сходится к функции f(x).

 

Разложение в ряд Маклорена функций

 

Теорема о существовании и единственности решения задачи

Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.

 

Если в некоторой окрестности точки функция f(x,y) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то существует такая окрестность точки , в которой задачи Коши , имеет решение, притом единственное.

Если задача Коши , имеет единственное решение, то это решение называется частным решением уравнения .

 

Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные

Уравнения.

 

Уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: , где f(x) и g(x) – непрерывные функции. Запишем это уравнение в форме: . Для отыскивания решения этого уравнения необходимо, как говориться, разделить в нем переменные, т.е. переписать уравнение следующим образом: в предположении, что в рассматриваемой области . Теперь левая часть уравнения содержит только переменную y, а правая – только x. Интегрируя обе части этого уравнения получим: . Таким образом, найден общий интеграл уравнения.

Частным случаем является автономное уравнение Его интегральные кривые при параллельном переносе вдоль оси абсцисс переходят друг в друга.