Лекции.Орг
 

Категории:


Архитектурное бюро: Доминантами формообразования служат здесь в равной мере как контекст...


Искусственные сооружения железнодорожного транспорта: Искусственные сооружения по протяженности составляют в среднем менее 1,5% общей длины пути...


Теория отведений Эйнтховена: Сердце человека – это мощная мышца. При синхронном возбуждении волокон сердечной мышцы...

Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды



Загрузка...

Пусть дана некоторая последовательность действительных чисел ап. Тогда сумма бесконечного числа членов этой последовательности

называется числовым рядом, а число ап (n = 1,2,...) — членом ряда. Если член ряда ап представлен в виде функции, натурального аргумента ап= f (п), то его называют общим членом ряда. При этом сумму Sn = а1+ а2 +...+ ап первых п членов ряда называют его n-ой частичной суммой. Таким образом, мы можем образовать новую последователь­ность - последовательность частичных сумм S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a3, Sn =a1+ a2 +...+an . Если эта последовательность имеет конечный предел S = lim Sn при n->infimity, то числовой ряд называется сходящимся, а число S — суммой ряда. В противном случае ряд называ­ют расходящимся.

Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд (l) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. Ряд полученный отбрасыванием первых п членов суммы (l), называется п-м остатком ряда. Таким образом, ряд (l) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

2. Если каждый член сходящегося ряда (l), сумма которого равна
S, умножить на некоторое число k, то полученный ряд

также сходится, и его сумма равна kS.

3. Если даны два сходящихся ряда

 
 


и

 

с суммами S и Т соответственно, то новый ряд полученный почленным сложением исходных рядов, также сходится, и его сумма равна S + T.

 

4. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, и суммы рядов одинаковы.

 

Необходимое условие сходимости числового ряда.

Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю.или не сугцествует, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального п имеем Sn= Sn-1 + ап или

An=Sn-Sn-1

При п -> infinity обе частичные суммы Sn и Sn-1 стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует, что

Подчеркнем еще раз, что мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т.е. усдовие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно дока­зывать только расходимость ряда.

Числовые ряды с неотрицательными членами.

Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда ап >0 для любого n=1,2,.... Критерием сходимости для таких рядов служит ограниченность последовательности частичных сумм ряда.

При решении задач на сходимость рядов первым шагом является проверка выполнения необходимого условия сходимости, т.е.





Дата добавления: 2015-11-23; просмотров: 1099 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. b) Сумма оборотных фондов, высвобожденных из оборота в результате ускорения их оборачиваемости
  2. А) алгоритм должен быть разбит на последовательность отдельных шагов;
  3. В) наименование дебетуемого и кредитуемого счетов и сумма операции
  4. Вызванная суммарная биоэлектрическая активность головного мозга
  5. Годовая сумма арендной платы
  6. Если сумма действующих на тело сил равна нулю, то тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое
  7. Из анализа видно, что наибольшая сумма амортизационных отчислений приходится на ... … (указывается элемент ОПФ), наименьшая величина амортизационных отчислений ……»
  8. Методика и последовательность проведения расчета поршневого компрессора
  9. Методика и последовательность расчета цент робежной турбокомнрессориой установки
  10. Последовательность в английском эквиваленте русского предложения: Он собирается обсудить с вами детали соглашения
  11. Последовательность выполнения курсовой работы
  12. Последовательность выполнения работы


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.002 с.