Говорят, что кривая 
обращена в точке 
выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке (т. е. в точке, имеющей абсциссу ) расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. 55 в точке 
кривая обращена выпуклостью книзу, в точке 
- кверху). Вместо слов «выпукла кверху (книзу)» употребляются слова «вогнута книзу (кверху)». Говорят, что точка есть точка перегиба кривой , если при переходе 
через точка кривой (имеющая абсциссу ) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис. 55 точка 
- точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое 
такое, что для всех 
кривая находится с одной стороны касательной в , а для всех 
- с другой.
Рис. 55
Для функции
ось пересекает и касается графика функции в точке 
и не есть точка перегиба.
Теорема 1. Если функция 
имеет в точке вторую непрерывную производную и 
, то кривая обращена в выпуклостью книзу (кверху.) Доказательство. Разлагаем в окрестности 
по формуле Тейлора
,
.
Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсциссу :
.
Тогда превышение кривой над касательной к ней в точке равно
.
Таким образом, остаток 
равен величине превышения кривой над касательной к ней в точке . В силу непрерывности 
, если 
, то и 
для , принадлежащих достаточно малой окрестности точки , а потому, очевидно, и 
для любого отличного от значения , принадлежащего к указанной окрестности.
Значит, график функции лежит выше касательной, и кривая обращена в точке выпуклостью книзу.
Аналогично, если 
, то 
для любого отличного от значения , принадлежащего к некоторой окрестности точки , т. е. график функции лежит ниже касательной и кривая обращена в выпуклостью кверху.
Следствие. Если есть точка перегиба кривой и в ней существует вторая производная 
, то последняя необходимо равна нулю 
.
Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой , ищут их среди корней уравнения 
.
Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой.
Теорема 2. Если функция такова, что производная 
непрерывна в 
, а и 
, то кривая имеет в точке точку перегиба.
Доказательство. В этом случае
,
.
В силу непрерывности в и того факта, что , следует, что 
сохраняет знак в некоторой окрестности точки ; он один и тот же справа и слева от точки . С другой стороны, множитель 
меняет знак при переходе через , а вместе с ним и величина 
(равная превышению точки кривой над касательной в ) меняет знак при переходе через . Это доказывает теорему.
Сформулируем более общую теорему:
Теорема 3. Пусть функция обладает следующими свойствами:
,
непрерывна в окрестности и 
.
Тогда, если 
- нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли 
или 
, а если - четное, то есть точка перегиба кривой.
Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора
.
В заключение заметим, что говорят также, что кривая имеет точку перегиба в точке , где производная 
равна 
или 
. По определению кривая называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке 
, если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами , 
расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды (рис. 56 и 57). Замечание. Если дифференцируема на , то приведенное определение выпуклости на отрезке эквивалентно следующему: кривая называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке , если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке интервала 
.
Рис. 56 Рис. 57
Теорема 4. Пусть функция непрерывна на и имеет вторую производную на . Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на , необходитмо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
для всех 
.
Пример, что бы было понятно. Функция 
имеет непрерывную первую производную и вторую производную 
на 
. Поэтому хорда 
, стягивающая дугу кривой 
на , ниже синусоиды (рис. 58). Так как уравнение хорды 
, то мы получили неравенство
, часто употребляемое в математическом анализе.
Рис. 58 Рис.59
2. 
при 
при 
. Так как 
, то в точке 
- перегиб. Далее 
при 
, 
при 
. Значит, график функции (рис. 59) выпуклый кверху на 
и выпуклый книзу на 
; 
- точка минимума, 
- точка максимума.
