Основные элементарные функции. Элементарные функции

Понятие функции. Основные свойства функций. Основные элементарные функции. Сложная функция. Обратная функция.

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Основные свойства функций.

Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодичность функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Основные элементарные функции. Элементарные функции

1. постоянная ;

2. степенная , задано;

3. показательная ;

4. логарифмическая ;

5. тригонометрические ;

6. обратные тригонометрические ;

 

Понятие сложной функции

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x₀, y₀). Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями x = x(t), y = y(t) и определены в некоторой окрестности точки t₀, причем x(t₀) = x₀, y(t₀) = y₀.

Тогда в окрестности точки t₀ определена сложная функция аргумента t

z = f(x(t), y(t)).

Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.

Например, если x и y — функции 2–х переменных: x = x(u,v) и y = y(u,v), то функция z = f(x,y) является сложной функцией двух переменных u и v:

z = f(x(u,v), y(u,v)).

Обратная функция

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией. Предположим, мы имеем функцию:

v = u ²,

где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v:

Если обозначить аргумент в обеих функциях через x, а функцию – через y, то мы имеем две функции:

каждая из которых является обратной по отношению к другой.

 

П р и м е р ы.

1) sin x и Arcsin x, так как, если y = sin x, то x = Arcsin y;

2) cos x и Arccos x, так как, если y = cos x, то x = Arccos y;

3) tan x и Arctan x, так как, если y = tan x, то x = Arctan y;

4) e^x и ln x, так как, если y = e^x, то x = ln y.