Теорема об изменении количества движения точки

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравне­ние, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Проинтегрируем это уравнение. Пусть точка массы m, движущаяся под действием силы (рис.32), имеет в момент t =0 скорость , а в момент t ₁- скорость .

Рис.32

 

Умножим тогда обе части равенства на dt и возь­мем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегри­рование идет по времени, пределами интегралов будут 0 и t ₁, а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствую­щие значения скорости и . Так как интеграл от d(mv) равен mv, то в результате получим:

Стоящие справа интегралы пред­ставляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения точки в конечном виде: изменение коли­чества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени ( рис. 32).

При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях.

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох теорема выражается первым из этих уравнений.

 

Вопросы для самопроверки

- Сформулируйте основные законы механики.

- Какое уравнение называется основным уравнением динамики?

- Какова мера инертности твердых тел при поступательном движении?

- Зависит ли вес тела от местонахождения тела на Земле?

- Какую систему отсчета называют инерциальной?

- К какому телу приложена сила инерции материальной точки и каковы ее модуль и направление?

- Объясните разницу между понятиями «инертность» и «сила инерции»?

- К каким телам приложена сила инерции, как направлена и по какой формуле может быть рассчитана?

- В чем заключается принцип кинетостатики?

- Каковы модули и направления касательной и нормальной сил инерции материальной точки?

- Что называют массой тела? Назовите единицу измерения массы в системе СИ?

- Что является мерой инертности тела?

- Запишите основной закон динамики в векторной и дифференциальной форме?

- На материальную точку действует постоянная сила. Как дви­жется точка?

- Какое ускорение получит точка, если на нее действует сила, равная удвоенной силе тяжести?

- После столкновения двух материальных точек с массами m ₁=6 кг и m ₂=24 кг первая точка получила ускорение 1,6 м/с. Чему равно ускорение, полученное второй точкой?

- При каком движении материальной точки равна нулю ее касательная сила инерции и при каком – нормальная?

- По каким формулам вычисляются модули вращательной и центробежной сил инерции точки, принадлежащей твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

- Как формулируется основной закон динамики точки?

- Приведите формулировку закона независимости действия сил.

- Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в векторной и координатной форме.

- Сформулируйте сущность первой и второй основных задач динамики точки.

- Приведите условия, из которых определяются постоянные интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки.

- Какие уравнения динамики называются естественными уравнениями движения материальной точки?

- Каковы две основные задачи динамики точки, которые решаются с помощью дифференциальных движений материальной точки?

- Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.

- Как определяются постоянные при интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки?

- Определение значений произвольных постоянных, появляющихся при ин­тегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки.

- Каковы законы свободного падения тела?

- По каким законам происходят горизонтальное и вертикальное перемещения тела, брошенного под углом к горизонту в пустоте? Какова траектория его движения и при каком угле тело имеет наибольшую дальность полета?

- Как вычислить импульс переменной силы за конечный промежуток времени?

- Что называется количеством движения материальной точки?

- Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?

- На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю?

- Как вычислить мощность силы, приложенной к материальной точке, вращающейся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ?

- Сформулируйте теорему об изменении количества движения материальной точки.

- При каких условиях количество движения материальной точки не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

- Приведите формулировку теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной форме.

- Что называется моментом количества движения материальной точки относительно: а) центра, б) оси?

- Как формулируется теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра и относительно оси?

- При каких условиях момент количества движения точки относительно оси остается неизменным?

- Как определяются моменты количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси? Какова зависимость между ними?

- При каком расположении вектора количества движения материальной точки его момент относительно оси равен нулю?

- Почему траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, лежит в одной плоскости?

- Какое движение точки называется прямолинейным? Запишите дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки.

- Запишите дифференциальные уравнения плоского движения материальной точки.

- Какое движение материальной точки описывают дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода?

- В каких случаях материальную точку называют несвободной и каковы дифференциальные уравнения движения этой точки?

- Дайте определения стационарных и нестационарных, голономных и неголономных связей.

- Какие связи называют двусторонними? Односторонними?

- В чем сущность принципа освобождаемости от связей?

- Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в форме Лагранжа? Что называют множителем Лагранжа?

- Приведите формулировку динамической теоремы Кориолиса.

- В чем сущность принципа относительности Галилея-Ньютона?

- Назовите движения, при которых кориолисова сила инерции равна нулю.

- Какой модуль и какое направление имеют переносная и кориолисова силы инерции?

- В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и абсолютного движений материальной точки?

- Как определяются переносная и кориолисова силы инерции в различных случаях переносного движения?

- В чем состоит сущность принципа относительности классической механики?

- Какие системы отсчета называются инерциальными?

- Каково условие относительного покоя материальной точки?

- В каких точках земной поверхности сила тяжести имеет наибольшее и наименьшее значения?

- Чем объясняется отклонение падающих тел к востоку?

- В каком направлении отклоняется тело, брошенное вертикально вверх?

- В шахту опускается бадья с ускорением а =4 м/с². Сила тяжести бадьи G =2 кН. Определите силу натяжения каната, поддерживающего бадью?

- На движущийся по прямолинейному горизонтальному пути поезд действует постоянная сила тяги тепловоза, равная силе трения. Какое движение совершает поезд? Как проявляется в этом случае закон инерции?

- Почему нагруженный автомобиль на булыжной мостовой движется более плавно, чем такой же автомобиль без груза?

- На весах уравновешен человек, держащий в руке тяжелый груз. Что произойдет с весами, если человек быстро поднимет груз вверх?

- Какой продолжительности должны быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе не имели веса?

- Почему при прохождении поезда через железнодорожный мост машинист уменьшает скорость поезда.

- Как повлияет на «легкость хода» велосипеда увеличение диаметра его колес? Прочие размеры частей велосипеда считать неизменными.

- Когда Земля быстрее движется по своей орбите вокруг Солнца (для северного полушария) или летом?

- Притяжение Луны Солнцем примерно в два раза больше, чем притяжение ее Землей. Почему же Луна - спутник Земли, а не самостоятельная планета.

- Можно ли так запустить спутник, чтобы он все время находился над одним и тем же пунктом Земли?

- Может ли спутник обращаться устойчиво в плоскости, не проходящей через центр Земли?

 

- Две материальные точки движутся по прямой с постоянными скоростями 10 и 100 м/с. Можно ли утверждать, что к этим точкам приложены эквивалентные системы сил?

1) нельзя;

2) можно.

 

- К двум материальным точкам массой 5 и 15 кг приложены одинаковые силы. Сравните численные значения ускорения этих точек?

1) ускорения одинаковы;

2) ускорение точки массой 15 кг в три раза меньше, чем ускорение точки массой 5 кг.

 

- Можно ли задачи динамики решать с помощью уравнений равновесия?

1) можно;

2) нельзя.