Основы стохастической финансовой математики

Изменение расчетных схем в условиях неопределенности

 

1. Плавающая ставка процента

Рассмотрим 3 варианта начисления процентов за пользование деньгами на единичном промежутке времени:

· проценты начисляются по ставке i в конце промежутка;

· проценты начисляются по случайной ставке, ставка в среднем равна i процентов;

· проценты начисляются по ставке i дважды: половина незадолго до конца промежутка и вторая половина – на таком же временном расстоянии после окончания промежутка.

1 вариант –вариант детерминированного финансового анализа;

2 вариант. Пусть f(x) –плотность распределения случайной ставки Х, тогда начисляемые процентные деньги есть случайная величина Х с математическим ожиданием М(Х) =i –детерминированный эквивалент случайной ставки.

3 вариант. Поскольку проценты начисляют дважды в моменты времени, близкие к концу некоторого единичного промежутка, то обозначим их соответственно (1-е) и (1+е), где е – небольшое положительное число. Приведем начисленные дважды процентные деньги i/2 к моменту 1. Получим эквивалент суммарных процентных денег в момент1: (i/2)*(1+i)^e +(i/2)*(1+i)^-e>2*i/2. Т.о. детерминированный вариант начисляемой процентной ставки больше чем i.

2 и 3 варианты возникают в том случае, когда банк имеет много филиалов, относительно самостоятельных в части выплаты процентов.

2 вариант возникает, когда все они начисляют проценты в конце промежутка, но сами проценты случайные, хотя в среднем процентная ставка равна i (усреднение по географическому признаку) – такой вариант назовем случайными процентами.

3 вариант получается, когда в каждом филиале начисляют одни и те же проценты, но день начисления случаен. Здесь случайным является момент времени (усреднение по времени начисления процентов). Детерминированный эквивалент случайного во времени начисления процентов больше чем математическое ожидание (по моменту времени) начисляемых процентов.

Аналогичные выводы следует сделать по поводу различных вариантов дисконтирования к современному моменту будущих сумм (выплаты займа, выплата дивидендов).

Вывод: если возможно, свой долг плати позже, а долги себе собирай пораньше.

 

2. Случайные потоки платежей.

Такие потоки могут быть частично детерминированы: полностью определены моменты платежей, либо величины платежей и т.д.

Пример 1.

Пример 2.

 

3. Рисковые инвестиционные процессы.

4. Подсчет доходности вероятностных операций в условиях неопределенностью

Денежная оценка начала операции обычно известна. Неопределенность конечной оценки может быть двоякой:

· не полностью известна ее величина, но момент окончания операции известен точно; В этом случае вместо конечной оценки используется ее математическое ожидание.

· полностью известна ее величина, но закончиться операция может в любой момент.

Пример 3. Начальный капитал челнока равен 1000 долларам. Опытные люди сказали, что в результате поездки за товаром и его последующей реализации капитал может с равной вероятностью возрасти в два раза, не измениться или уменьшиться в два раза (с вычетом сопутствующих издержек). Найти среднюю ожидаемую доходность планируемой операции.

Решение. Средняя ожидаемая доходность будет: ((2000+1000+500)/3-1000)/1000=17%.

Пример 4. Запас золота в месторождении известен как и начальные инвестиции в его разработку. Фактически полная отдача месторождения тоже фиксирована. Следовательно доходность в процентах годовых будет зависеть от длительности выработки месторождения: чем дольше будет вырабатываться месторождение, тем меньше доходность.

Пример 5. Какова средняя ожидаемая доходность операции, если есть 2 варианта данной операции:

· 1в.- вероятность его оценивается в 0,9 и предусматривает затраты в 10000 долл., а прибыль – 3000 долл.

· 2в.- вероятность =0,1, а затраты равны 20 000 тыс. долл., прибыль равна 10 000 долл.

Решение. Доходность равна 0,9*0,3+0,1*0,5.