Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕримеры дл€ самосто€тельного решени€. ѕример 1. ¬ продовольственном магазине проведены контрольные взвешивани€ проданной колбасы




 

ѕример 1. ¬ продовольственном магазине проведены контрольные взвешивани€ проданной колбасы. ѕолученные данные указаны в таблице:

недовес, г                  
частота                  

 

ќпределить с помощью λ Ц критери€  олмогорова-—мирнова на уровне значимости α = 0,05, согласуютс€ ли данные выборки с равномерным распределением на отрезке [0,10].

ќтвет: данные выборки согласуютс€ с равномерным распределением на отрезке [0,10].

ѕример 2. ¬ таблице указаны результаты проверки по недовесам покупател€м одного вида овощей:

 

»нтервалы недовесов, г „астота (выборка 1) „астота (выборка 2)
0 Ц 10    
10 Ц 20    
20 Ц 30    
30 Ц 40    
40 Ц 50    
50 Ц 60    
60 Ц 70    
70 Ц 80    
80 Ц 90    

 

”ровень значимости α = 0,05. ѕроверить гипотезу о том, что недовесы овощей определ€ютс€ одним и тем же законом распределени€.

ќтвет: λэмп =0,559; λкр=1,358. принимаетс€.

ѕример 3. ¬ таблице указаны результаты проверки по недовесам покупател€м одного вида овощей:

 

»нтервалы недовесов, г „астота (выборка 1) „астота (выборка 2)
0 Ц 10    
10 Ц 20    
20 Ц 30    
30 Ц 40    
40 Ц 50    
50 Ц 60    
60 Ц 70    
70 Ц 80    
80 Ц 90    

 

”ровень значимости α = 0,05. ѕроверить гипотезу о том, что недовесы овощей определ€ютс€ одним и тем же законом распределени€.

 

ќтвет: принимаетс€.

ѕример 4. 100 избирател€м предложили распределить 9 кандидатов в депутаты по 9 позици€м в пор€дке предпочтени€. Ёмпирические частоты попадани€ депутата »ванова на каждую из 9 позиций представлены в таблице:

 

Ёмпирические частоты ѕозиции депутата »ванова
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

ћожно ли утверждать, что распределение голосов за депутата »ванова по 9 позици€м не отличаетс€ от равномерного распределени€ (). ”ровень значимости α=0,05.

ќтвет: λэмп = 1,8; λкр = 1,358. отвергаетс€.

ѕример 5. 2 группы студентов сдают зачет по 10-ти балльной системе. 1 группа готовилась к зачету по лекци€м, 2 группа Ц по учебникам. ѕроверить гипотезу о том, что распределение оценок в 1 и 2 группах одинаково. ”ровень значимости α=0,05.

1).

 

оценки                    
гр 1                    
гр 2                    

ќтвет: λэмп = 1,4; λкр = 1,358. отвергаетс€.

 

2).

оценки                    
гр 1                    
гр 2                    

ќтвет: λэмп =0,7; λкр = 1,358. принимаетс€.

 

3).

оценки                    
гр 1                    
гр 2                    

ќтвет: λэмп =0,6; λкр = 1,358. принимаетс€.

 

4).

оценки                    
гр 1                    
гр 2                    

 

ќтвет: λэмп =0,4; λкр = 1,358. принимаетс€.

5).

оценки                    
гр 1                    
гр 2                    

ќтвет: λэмп =0,4; λкр = 1,358. принимаетс€.

 ритерий ѕирсона

Ќазначение критери€.  ритерий χ2 примен€етс€ в двух случа€х:

1) при сопоставлении эмпирического распределени€ признака с теоретическим, чаще всего с нормальным распределением;

2) при сопоставлении двух, трех и более эмпирических распределений одного и того же признака.

¬ насто€щем пособии мы рассматриваем применение χ2 Ц критери€ дл€ второго из перечисленных выше случаев, т.к. пособие посв€щено непараметрическим критери€м, а их применение не требует распределение признака по нормальному закону.

 

ќграничени€ критери€.

ќбъем выборки должен быть достаточно большим Ц n ≥ 30. ѕри n < 30 критерий χ2 дает приближенные значени€. “очность критери€ повышаетс€ при больших n.

√ипотезы. ¬озможны несколько вариантов гипотез в зависимости от задач, которые решает исследователь.

1) : эмпирическое распределение 1 не отличаетс€ от эмпирического распределени€ 2; : эмпирическое распределение 1 отличаетс€ от эмпирического распределени€ 2.

2) : нет св€зи между значени€ми двух признаков; : есть св€зь между значени€ми двух признаков.

ќписание подсчета χ2 Ц критери€.

Ѕудем провер€ть гипотезу о наличии св€зи между значени€ми двух величин. : нет св€зи между значени€ми двух величин. : есть св€зь между значени€ми двух величин.

ќписание подсчета χ2 Ц критери€ приведем на примере.

ѕример. —туденты сдавали экзамены по математике и физике. ≈сть ли св€зь между результатами экзаменов? Ќиже представлена таблица наблюдаемых частот fо.

–езультаты экзаменов по математике –езультаты экзаменов по физике
ѕ€ть „етыре “ри ƒва
ѕ€ть        
„етыре        
“ри        
ƒва        

 

–ешение. ¬ клетке 1,1 (перва€ строка, первый столбец) стоит число 25, т.е. 25 студентов получили и по физике и по математике одинаковые оценки. ¬ клетке 4,2 (4 строка, 2 столбец) указано число 10, т.е. 10 студентов получили хорошие оценки по физике и неудовлетворительные по математике, и т.д.

: нет св€зи между оценками по физике и математике;

: есть св€зь между оценками по физике и математике.

ѕостроим таблицу ожидаемых частот fe. —начала суммируем числа по строкам и столбцам предыдущей таблицы:

 

–езультаты экзаменов по математике –езультаты экзаменов по физике —умма
ѕ€ть „етыре “ри ƒва
ѕ€ть          
„етыре          
“ри          
ƒва          
—умма          

ѕолучены результаты экзаменов у 225 студентов (n=225). ќтличный результат по математике показали 58 студентов, т.е. дол€ тех, кто получил отличные оценки по математике, равна 58/225. ≈сли верна гипотеза , то можно ожидать, что 58/225 из 68 студентов, получивших отличные оценки по физике, показали отличные знани€ и по математике. јналогично можно рассчитать и другие ожидаемые частоты:

 

–езультаты   –езультаты экзаменов по физике —умма
ѕ€ть „етыре “ри ƒва
ѕ€ть 68∙58/225 64∙58/225 54∙58/225 39∙58/225  
„етыре 68∙57/225 64∙57/225 54∙57/225 39∙57/225  
“ри 68∙70/225 64∙70/225 54∙70/225 39∙70/225  
ƒва 68∙40/225 64∙40/225 54∙40/225 39∙40/225  
—умма          

 

≈сли в какой-то клетке получилось значение меньше 5, то нужно объединить какие-то строки или столбцы. ќжидаемые частоты нельз€ округл€ть до целого значени€.

»так, получена таблица:

 

–езультаты экзаменов по математике –езультаты экзаменов по физике —умма
ѕ€ть „етыре “ри ƒва
ѕ€ть 17,5 16,5 13,9 10,1  
„етыре 17,2 16,2 13,7 9,9  
“ри 21,2 19,9 16,8 12,1  
ƒва 12,1 11,4 9,6 6,9  
—умма          

 

”ровень значимости α=0,05, m=[(число строк таблицы Ц 1)∙(число столбцов таблицы Ц1)]=(4-1)∙(4-1) = 9. ƒл€ α и m по таблице χ2 Ц распределени€ (таблица VI приложени€) найдем χ2кр = 16,92.

«амечание 1. ƒл€ нахождени€ χ2кр можно также воспользоватьс€ статистической функцией ’»20Ѕ–(α; m) мастера функций fx пакета Excel.

“еперь найдем значение статистического критери€ χ2. ƒл€ этого заполним таблицу ј, по€сним, как это сделать. Ќаблюдаемые частоты fо пишем в первом столбце, а соответствующие им ожидаемые частоты fе Ц во втором столбце. “ретий столбец таблицы заполн€етс€ разност€ми (fо - fе), четвертый Ц квадратами этих разностей. ¬ п€том столбце Ц значени€, вычисленные по формуле . ѕоследн€€ строка таблицы Ц сумма чисел в каждом столбце. —умма чисел п€того столбца Ц это и есть эмпирическое значение χ2 Ц критери€:

χ2эмп = ∑ = 24,40.

≈сли χ2эмп > χ2теор, то гипотеза отклон€етс€. ≈сть св€зь между оценками по математике и физике.

“аблица ј

fo fe fo - fe (fo - fe)2 (fo - fe)2 ∕ fe
  17,5 7,5 56,25 3,21
  17,2 2,8 7,84 0,46
  21,2 -6,2 38,44 1,81
  12,1 -4,1 16,81 1,39
  16,5 1,5 2,25 0,14
  16,2 -0,2 0,04 0,00
  19,9 0,1 0,01 0,00
  11,4 -1,4 1,96 0,17
  13,9 -3,9 15,21 1,09
  13,7 1,3 1,69 0,12
  16,8 5,2 27,04 1,61
  9,6 -2,6 6,76 0,70
  10,1 -5,1 26,01 2,58
  9,9 -3,9 15,21 1,54
  12,1 0,9 0,81 0,07
  6,9 8,1 65,61 9,51
—умма -   - 24,40

 

«амечание 2. ¬место заполнени€ последней таблицы можно воспользоватьс€ статистической функцией ’»2“≈—“ мастера функций пакета Excel. fx → статистические → ’2“≈—“ → о,к. ѕо€вл€етс€ диалоговое окно. ¬ графе Ђфактический интервалї указываетс€ ссылка на €чейки, в которых хран€тс€ наблюдаемые частоты. ¬ графе Ђожидаемый интервалї указываетс€ ссылка на €чейки, в которых хран€тс€ ожидаемые частоты. ќ,к. ≈сли полученное значение превышает заданный уровень значимости α, то гипотеза отклон€етс€.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 582 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент всегда отча€нный романтик! ’оть может сдать на двойку романтизм. © Ёдуард ј. јсадов
==> читать все изречени€...

1623 - | 1431 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.061 с.