Примеры для самостоятельного решения. Пример 1. 16 студентов по окончании 1 курса тестировались по математике по 10-балльной системе

 

Пример 1. 16 студентов по окончании 1 курса тестировались по математике по 10-балльной системе. Результаты представлены в выборке А. Через 5 лет тем же студентам были предложены те же вопросы. Оценки представлены в выборке В. Можно ли утверждать, что через 5 лет уровень знаний студентов понизился? Уровень значимости α=0,05.

: понижение уровня знаний через 5 лет не является значимым.

 

Таблица оценки знаний студентов

 

N	Выборка А	Выборка В	Сдвиг
			-1
			-1
			-1
			-1
			-1
			-1
			-1
			-1

 

Ответ: Гипотеза отклоняется, =1, =0, т.е. уровень знаний через 5 лет снизился.

Пример 2. Группе из 16 человек предложили дегустировать и оценить по 10-балльной системе новый продукт мясоперерабатывающего завода. Результаты в выборке А. Затем, этой же группе людей был показан ролик, рекламирующий этот продукт. После просмотра рекламного ролика этим же людям предложили оценить тот же продукт еще раз. Можно ли считать, что сдвиг оценок продукта после просмотра рекламного ролика в положительную сторону случаен? Уровень значимости α=0,05.

: сдвиг оценок после просмотра рекламы не является значимым.

Таблица результатов дегустации продукта

 

N	Выборка А	Выборка В

 

Ответ: Гипотеза принимается. Сдвиг значимый. = 4, = 5.

Пример 3. На рынке строительных услуг конкурируют 2 фирмы Фирма А использует традиционные технологии, фирма В – инновационные. Проанализировав данные таблицы, где показаны прибыли в млн за 10 месяцев, ответьте на вопрос: является ли увеличение прибылей фирмы В случайным? Уровень значимости α = 0,01.

: увеличение прибылей фирмы В не является значимым.

 

Таблица прибылей фирм

 

месяцы	Фирма А	Фирма В	Сдвиг
			+2
			+2
			+2
			+1
			-1
			+2
			+2
			+2

 

 

Ответ: Гипотеза принимается. = 0, = 1.

 

Пример 4. Тестируется новый продукт. 15 человек респондентов просят оценить качество продукта по 10-балльной шкале (выборка А). Контрольной группе респондентов (выборка В) до тестирования показывают ролик, рекламирующий этот продукт. Является ли сдвиг в сторону положительных оценок в контрольной группе случайным? Уровень значимости α=0,01.

: сдвиг в сторону положительных оценок в контрольной группе не является значимым.

 

Таблица оценки продукта

 

N	Выборка А	Выборка В

Ответ: Гипотеза принимается. =0, =2.

Пример 5. Выборка А и выборка В сопоставляются по некоторому количественно измеренному признаку. Проверить гипотезу : преобладание типичного направления сдвига не является значимым. Уровень значимости α = 0,05.

 

1).

А

В

 

Ответ: Гипотеза принимается. = 0, = 1.

 

2).

А

В

 

Ответ: Гипотеза принимается. = 0, = 2.

3).

А

В

 

Ответ: Гипотеза принимается. = 1, = 3.

4).

А

В

 

Ответ: Гипотеза принимается. = 2, = 3.

 

5).

А

В

 

Ответ: Гипотеза принимается. = 0, = 2.

 

T – критерий Вилкоксона

 

До сих пор мы работали с данными, которые можно измерить. Однако, бывают ситуации, когда важнее упорядочение данных, чем прямые измерения. При математической обработке таких порядковых данных используют, например, Т – критерий Вилкоксона.

Назначение критерия. Т – критерий Вилкоксона применяется для сопоставления показателей, полученных в двух разных условиях на одной и той же выборке, а также при независимой обработке на двух выборках. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их интенсивность.

Ограничения критерия.

Объем исследуемой выборки n: 5 ≤ n ≤ 50.

Гипотезы:

: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

 

Алгоритм подсчета Т – критерия.

1. Вычислить разность между упорядоченными значениями во второй и первой выборках («до» и «после»). Определить, что является типичным сдвигом.

2. Сформулировать соответствующие гипотезы.

3. Проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг. Если несколько значений равны, им начисляется ранг, равный среднему арифметическому тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны. Подсчитать сумму рангов. Проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной. Расчетная сумма рангов вычисляется по формуле: , где n – объем выборки.

4. Подсчитать сумму нетипичных рангов по формуле: , где - ранговые значения сдвигов в нетипичном направлении. Эта сумма и есть эмпирическое значение Т – критерия Вилкоксона.

5. По таблице IV приложения для n и для заданного уровня значимости α определить .

6. Если ≤ , то сдвиг в типичную сторону по интенсивности значимо преобладает, в противном случае этот сдвиг случаен.

Пример. Уровень профессиональной подготовки 11 преподавателей кафедры оценили по 130-балльной шкале (выборка А). После того, как преподаватели прослушали курс повышения квалификации, их профессиональный уровень оценили еще раз по той же методике (выборка В). Проверить гипотезу о том, что интенсивность сдвигов в сторону уменьшения уровня профессиональной подготовки не превышает интенсивности сдвигов в сторону его увеличения.

 

Решение. Поставленная перед нами задача и будет гипотезой . Тогда гипотеза – интенсивность сдвигов в сторону уменьшения уровня профессиональной подготовки превышает интенсивность сдвигов в сторону его увеличения. Уровень значимости α = 0,05.

 

Таблица оценки преподавателей и подсчета Т – критерия

N	Выборка А	Выборка В	Сдвиг	Ранг
			-39
			-27
			+3
			-19
			-38	9,5
			-8
			+4	2,5
			-4	2,5
			-38	9,5
			+25
			-18

 

На первом шаге подсчета Т – критерия Вилкоксона вычитаем из каждого значения «после» значение «до», результаты в 4 столбце таблицы. 8 из полученных разностей отрицательные, 3 – положительные. Следовательно, положительный сдвиг нетипичный.

На следующем шаге все сдвиги берутся по абсолютной величине и ранжируются. Ранги абсолютных значений сдвигов указаны в 5 столбце. Подсчитываем сумму в столбце 5: ∑R = 11+8+1+6+9,5+4+2,5+2,5+9,5+7+5 = 66. Расчетная сумма ∑R = = = 66. Они совпадают. Отметим, что положительные сдвиги нетипичные. Сумма их рангов, которая и является эмпирическим значением Т – критерия Вилкоксона подсчитывается: = 1+2,5+7 = 10,5.

По таблице Т – критерия Вилкоксона (таблица IV приложения) для n = 11 определяем: = 13 (α = 0,05), < , отвергается. Интенсивность сдвигов в сторону уменьшения уровня профессиональной подготовки превышает интенсивность сдвигов в сторону его увеличения (α = 0,05).