Группа случайных погрешностей измерения одной и той же величины подчиняется нормальному закону распределения Гаусса.
Не надо иронизировать в отношении такого названия – «нормальный закон распределения». Мол, если есть «нормальный закон», то должен быть и «ненормальный закон». Последних нет. Есть множество законов распределения, которые отличаются своими параметрами от нормального закона. Просто исследованиями установлено, что отклонения результатов измерений от истинного значения подчиняются в своей группе нормальному закону распределения Гаусса. И не только отклонения результатов измерений подчиняются этому закону, но и распределение самих результатов также, как говорят, нормальное.
Рассмотрим ряд случайных погрешностей, определяемых как отклонение результата измерения хi одной и той же величины, свободного от грубых и систематических погрешностей, от истинного значения Х:
. (3.3)
На основании теоретических иследований и опытных данных установлены следующие свойства ряда случайных погрешностей, подчиняющихся нормальному закону распределения, являющемуся симметричным.
Свойство 1. При многократном (бесконечно большом числе измерений) выполнении измерений одной величины равновероятно появление случайных погрешностей, равных по величине, но противоположных по знаку.
То есть, если была получена погрешность «- 0,085 м», то следует ожидать с той же вероятностью и погрешности «+ 0,085 м». Пусть даже это и произойдёт не тут же, но обязательно произойдёт в какое-то время.
Свойство 2. При большом числе измерений малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.
То есть, более всего ожидается результат измерений, близкий к истинному его значению.
Свойство 3. При неизменных условиях измерений случайные погрешности не превосходят по абсолютной величине известного предела:
. (3.4)
То есть, совокупность действия различных факторов, если условия измерений неизменны, не приведет к значительному уклонению результата измерений от его истинного значения.
С математической точки зрения это не совсем правильно, потому что нормальный закон распределения имеет бесконечные пределы в ту и другую стороны. То есть математики могут ожидать появление случайной погрешности, равной весьма большому числу, даже почти бесконечности. Пусть и вероятность этого почти равна нулю, но, всё же, не нулю. А с практической точки зрения целесообразно ввести ограничение на предельное значение случайной погрешности.
Если же это случится, т.е. появится результат, погрешность которого будет больше предельной, то следует считать это измерение содержащим грубую погрешность, исключить его из ряда измерений и заменить это измерение новым измерением.
Свойство 4. При большом числе измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю, т.е.
(при n → ∞). (3.5)
Здесь и в дальнейшем квадратные скобки [...] являются символом суммы (символ введен Гауссом).
При большом числе измерений это вытекает из свойства 1 в силу симметрии нормального закона распределения (свойство компенсации).
Среднее арифметическое
В теории измерений и в практике обработки результатов измерений используются различные средние. Об одной из таких средних, средней арифметической, уже неоднократно упоминалось раньше. Часто используют в исследованиях среднее квадратическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и др. Нас, в данном случае, будет интересовать только среднее арифметическое.
Как уже говорилось выше, погрешность измерения представляет собой разность между самим результатом измерения хi и его истинным значением Х, определяемую по формуле (3.3).
Если результат измерения заранее известен, то, казалось бы, зачем производить измерения? Однако такие действия часто приходится выполнять. Например, при проверке правильности работы или показаний прибора по эталону. Да и при самих непосредственных измерениях, например, углов в треугольнике, сумма углов треугольника (или многоугольника) на плоскости является эталоном, известной величиной.
В основном результаты измерений заранее неизвестны. Что же представляет собой погрешность измерений в этом случае, и каким образом можно её определить?
Рассмотрим ряд измерений одной и той же величины Х для случая, когда число измерений весьма большое (n ® ∞). Составим ряд истинных погрешностей измерений, полагая, что измеряемая величина нам известна.
Сложим все разности в правых и левых частях формул (3.3) и разделим полученные результаты на n, получим
. (3.6)
В соответствии со свойствами случайных погрешностей отношение [D]/ n стремится к нулю при n ® ∞. Отношение [ х ]/ n = хо называется средним арифметическим из результатов измерений.
С учетом сказанного можно записать, что
(
® Х) n ® ∞, (3.7)
т.е. среднее арифметическое из результатов измерений при большом числе измерений стремится к истинному значению измеряемой величины. Это очень важное свойство многократных измерений, ряд которых подчиняется нормальному закону распределения.
Как просто! Чтобы получить истинное значение надо только выполнить большое число измерений, лучше всего – бесконечное их число. Но такой возможности, к сожалению, нет, поскольку большое число измерений (избыточных) приводит к большим затратам времени и большим экономическим затратам.
Таким образом, при определении погрешностей измерений с какой-то долей надёжности, зависящей от числа измерений, можно использовать величину среднего арифметического вместо истинного значения измеряемой величины. В этом случае истинные погрешности будут являться уклонениями результатов измерений от среднего арифметического:
vi = хi - xо. (3.8)
В теории погрешностей измерений доказано, что если результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, то и ряд уклонений vi от арифметического среднего также подчиняется нормальному закону распределения и обладает всеми свойствами случайных погрешностей.
