Краткие сведения из теории погрешностей

 

«Никто не может объять необъятного».

Козьма Прутков. «Мысли и афоризмы»

Вот и снова, скажете Вы, «краткие сведения». То сначала были краткие сведения из истории, потом – краткие сведения о картографических проекциях. Теперь и об ошибках то же самое.

Не огорчайтесь об этих кратко изложенных разделах. Собственно говоря, и в названии учебника надо было написать «Краткая геодезия». Почему? Да потому, что К.Прутков прав!

И ещё. Вы уже заметили, как непоследовательно автор излагает свои мысли, да и чужие тоже. До этого очень часто говорилось об измерении расстояний, определении географических и прямоугольных координат, определении площадей плоских фигур, а о самих измерениях, о том, что это такое – только после всего сказанного. Автор приносит свои извинения и восполняет указанный пробел, тем более, что дальше многие разделы будут изобиловать различными вычислениями, связанными с измерениями. Так же, как ими будет изобиловать Ваша учеба и Ваша работа.

Геодезические и маркшейдерские измерения связаны с конкретными, а не абстрактными, как в математике, числами. Вот, например, чисто математическая задача: «Земельный участок в виде прямоугольника имеет размеры 25 м и 40 м. Определить площадь этого участка». Конечно, скажем мы, 1000 м². А на самом деле? Где это кто-либо видел земельный участок в виде точного прямоугольника? Как следует из условия математической задачи – абсолютного прямоугольника. Похожие на прямоугольник участки есть. Но тогда и их площадь надо определять как-то не так. Да и размеры ровно 25 м и 40 м получить (построить) на местности практически трудно. А если очень постараться, то участок из-за одних только построений его границ будет золотым. Поэтому не 25 м и 40 м, а (25 ± «что-то-1») м и (40 ± «что-то-2») м. И получится не 1000 м², а (1000 ± «что-то-3») м².

Вот, в основном, об этом «что-то» и будет идти речь в этой главе.

 

Виды измерений

 

Геодезия и маркшейдерия относятся к таким областям техники, где измерения являются необходимым элементом производственной деятельности. И не только необходимым, но таким массовым в своем исполнении, что и вообразить себе невозможно. Достаточно сказать, например, что для съёмки местности площадью всего в 1 га в масштабе 1:500 (для сравнительно средней сложности местности) понадобится около 200 точек, для каждой из которых определяются три координаты: две плановые (х, у) и высота (Н).

Измерения в геодезии являются количественной и качественной основой для изучения Земли, отдельных ее фрагментов, для получения исходной информации при решении всех инженерно-геодезических задач и выполнения топографических работ. Любое измерение выражается количественной характеристикой (величиной угла, длиной линии, превышением, площадью участка местности и т.п.) и имеет качественную сторону, которая характеризует точность полученного результата.

Величины, которые получают в процессе производства геодезических работ, можно классифицировать на измеренные и вычисленные. В первом случае величину получают обычно непосредственно, путем сравнения её с единицей средства измерения, или косвенно, как функцию двух или нескольких непосредственно измеренных величин. Например, площадь прямоугольника может быть получена как произведение его сторон, измеренных непосредственно.

Под результатом измерения предусматривается конечный результат, который получается в процессе всех произведённых измерений и вычислений. Например, конечным результатом может быть высота точки, её плановые координаты, площадь участка и т.п.

Результаты измерений в своей группе могут быть равноточными и неравноточными.

Если измерения выполнены прибором одного и того же класса точности, по одной и той же методике (программе), в одинаковых внешних условиях, одним и тем же наблюдателем (либо наблюдателями одной квалификации), то такие измерения относят к равноточным. При несоблюдении хотя бы одного из перечисленных выше условий результаты измерений классифицируют как неравноточные.

Примером равноточных измерений могут являться результаты измерений длины одной и той же линии либо линий, примерно равных друг другу, полученные при неизменных условиях внешней среды, одним и тем же измерительным средством (прибором), одними и теми же исполнителями работ, по общей для всех результатов измерений программе.

Если в процессе измерений длины линии, например, светодальномером, изменится температура окружающего воздуха, влажность, давление, то это может привести к получению части неравноточных результатов в общей группе результатов измерений, поскольку при изменении внешних условий может произойти и изменение характеристик измерительного прибора, характеристик прохождения светового луча в атмосфере.

Число измеренных величин и число измерений может быть необходимым и избыточным.

При измерении, например, углов в треугольнике число необходимых измеренных величин равно двум, в семиугольнике – шести. Значение третьего (седьмого) угла можно вычислить по сумме двух (шести) измеренных углов. Если необходимо решить плоский треугольник, то дополнительно к измеренным двум углам обязательным является знание длины хотя бы одной из его сторон, в связи с чем число необходимых измеренных величин должно быть равно трём (одно измерение – линейное, два – угловые). Та же задача решается и при выполнении двух линейных измерений и одного угла, заключённого между измеренными сторонами треугольника.

Таким образом, числом необходимых измеренных величин является минимально необходимое их число, при котором обеспечивается решение поставленной задачи. Число же измеренных величин, превышающих число необходимых, называется числом избыточных величин. В геодезии, в маркшейдерии принято, но и не только принято, а является обязательным, получать и избыточные величины, что обеспечивает обнаружение грубых погрешностей и промахов, позволяет повысить точность результатов измерений. Поэтому в треугольнике, например, обязательно измеряют все три угла и сравнивают полученную сумму углов с теоретической.

Если сформулировать задачу с точки обеспечения заданной точности измерений, то необходимое число измерений должно обеспечивать заданную точность измерения одной величины или самого результата измерений. Так, в том же треугольнике, каждый из его углов может быть измерен несколько раз. Все избыточные измерения повышают надёжность результатов, а также их точность, но в то же время и увеличивают объём работ, и часто прирост увеличения точности становится экономически нецелесообразным из-за большого числа измерений. Иногда говорят, что числом необходимых измерений, например, горизонтального угла, является одно измерение, остальные – избыточные. Это не всегда так, поскольку, как будет показано выше, одно измерение не позволяет производить оценку точности и может содержать не контролируемую грубую погрешность (промах).