Краткие сведения о картографических проекциях

 

Карта – чертёж поверхности Земли,

небесного тела или звёздного неба.

С.И.Ожегов. «Словарь русского языка».

 

Именно об этом и пойдёт здесь речь, о первом из нескольких значений слова карта, указанном в словаре. О таких примерно изображениях, о которых немного говорилось в 1-й главе, но не о таких приблизительных, часто построенных со слов, а об изображениях, построенных при непосредственном участии геодезистов с использованием специальных приборов и не менее специальных методов.

И снова, скажете, – краткие сведения. Да, краткие, потому что об этом интересном разделе геодезии можно рассказать очень и очень многое. В картографии тесно переплетаются многотрудные работы полевиков, камеральщиков, а потом и картографов, работа которых близка и к искусству художника. Достаточно посмотреть старые по времени издания карты России, Москвы, других мест и населённых пунктов. Это современные технологии позволили освободить картографов от такой кропотливой работы, как «ручная» рисовка карт, с подписями разными шрифтами, с отмывкой цвета акварелью и т.п.

Картографическое изображение – это представление исходной информации об объектах, а также о явлениях действительности, в графической, цифровой или другой форме на заданной поверхности (носителе информации) с применением системы специальных картографических условных знаков.

Очевидно, что на картах невозможно отобразить все детали объектов или явлений, поэтому на них показывают только типичные отличительные свойства в обобщённом виде с указанием связей, которые позволяют облегчить чтение карты и решение с помощью неё поставленных задач. Не совсем таких изображений, как это показано на рис. 2.2, но чем-то похожих. Приведённая здесь дорожная карта представляет собой лишь небольшой фрагмент. На самом деле это непрерывный свиток длиной 7 м, на котором указан путь от островов Британии до реки Ганг.

Картографическая проекция – это установленный способ изображения поверхности земного эллипсоида (референц-эллипсоида) на плоскости. Поверхность эллипсоида (шара, сфероида и т.п.) невозможно развернуть на плоскость без деформаций, в связи с чем при переходе на плоскость возникает сжатие или растяжение изображения, т.е. изменение его масштаба.

Под масштабом карты понимается отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности, выраженном в тех же единицах измерения. Масштаб карты указывают в численном виде (1: 5 000; 1: 200 000 и т.п.) или именованном виде (в 1 см 250 м, т.е. в 1 см 25 000 см, или масштаб 1: 25 000).

 

 

Рис. 2.2. Дорожная карта.

 

Картографические проекции классифицируют по двум признакам: по характеру искажений углов (равноугольные) и площадей (равновеликие) и по виду координатной сетки параллелей и меридианов (азимутальные, конические, цилиндрические и др.).

Существует четыре вида искажений:

- искажение длин, что приводит к изменению масштаба изображения при перемещениях по полю карты;

- искажение площадей, проявляющееся в изменении масштаба площадей фигур при перемене места;

- искажение углов, определяющееся различными значениями горизонтальных углов, измеренных по тем же направлениям на изображении и на местности;

- искажение форм, определяемое нарушением действительных форм объектов с их изображением.

Уж коли мы заговорили о карте, то надо бы перейти и к каким-то специальным терминам. Выше говорилось, что Эратосфен впервые ввёл понятие меридиана и параллели. Вот с этих важных понятий мы и начнем.

Меридианом (рис. 1.9) является линия пересечения с поверхностью Земли плоскости, проходящей через ось РР вращения Земли. Меридиан, проходящий через определенную точку в Гринвичской обсерватории (Англия), называется Гринвичским (нулевым, начальным) меридианом.

Параллель получается от пересечения с поверхностью Земли плоскости, перпендикулярной к оси вращения Земли. Самая большая параллель называется экватором.

Нулевых или начальных меридианов может быть бесчисленное множество. В каждом государстве может быть установлен свой начальный меридиан. Так, например, было в России, да и сейчас есть, вернее, остался как исторический памятник – Пулковский меридиан; он проходит через определённую точку Пулковской обсерватории (бронзовый знак в полу в центре обсерватории). Просто сейчас принято отсчитывать время с использованием Гринвичского меридиана, иначе в каждом государстве было бы своё начало времени. А приняли это в 1884 г. Вот с тех пор и перешли в России на другую систему отсчёта, отличающуюся от Гринвичской на 30^о19'34''.

 

 

Рис. 2.3. Нормальные сетки:

а) – азимутальные (полярные); б) – цилиндрические; в) – конические.

 

 

Рис. 2.4. Поперечные сетки:

а) – азимутальные (экваториальные); б) – цилиндрические; в) – конические.

 

Равноугольные проекции передают без искажений углы геометрических фигур, а равновеликие не искажают площадей. Поэтому один и тот же объект, например, для простоты, остров, в раноугольной и равновеликой проекциях изобразится нескольно по разному. Кроме того, существуют и произвольные проекции, которые не являются равновеликими или равноугольными, а используются для построения изображений в удобной для представления и чтения форме.

Для получения непрерывного изображения местности на плоскости разработаны способы, которые позволяют проектировать всю земную поверхность на вспомогательную поверхность (на плоскость, коническую или цилиндрическую поверхности). При этом поверхности, на которые проектируют земной шар, могут быть касательными к шару, секущими его, а в некоторых случаях и отстоящими от него на определенном расстоянии. Кроме того, эти поверхности могут быть по разному ориентированы по отношению к основным геометрическим элементам земного шара: оси вращения Земли и плоскости экватора.

По способу ориентирования вспомогательных геометрических поверхностей по отношению к геометрии земного шара проекции делят на полярные (нормальные), в которых плоскость проектирования касается поверхности земного шара в точке полюса либо ось цилиндра или конуса совпадает с осью вращения Земли (рис. 2.3), на экваториальные (поперечные), в которых плоскость проектирования касается экватора в какой-либо точке либо ось цилиндра или конуса совпадает с плоскостью экватора (рис. 2.4) и на косые (горизонтальные), в которых плоскость проектирования касается земного шара в любой заданной или выбранной точке либо ось цилиндра или конуса имеет любой заданный или выбранный угол к оси вращения Земли или плоскости экватора (рис. 2.5).

 

 

Рис. 2.5. Косые сетки:

а) – азимутальные (горизонтальные); б) – цилиндрические; в) – конические.

 

В азимутальных проекциях касательная плоскость имеет одну общую точку с поверхностью Земли. Эта точка называется точкой нулевых искажений (рис. 2.6 а). Если плоскость пересекает поверхность земного шара, то получается линия пересечения, которая называется линией нулевых искажений (рис. 2.6 б). При касании или пересечении цилиндрических или конических поверхностей с поверхностью земного шара получаются линии нулевых искажений (см. рис. 2.7 и 2.8). При касании получается только одна такая линия, а при пересечении – две.

Азимутальные проекции (рис. 2.9) часто используются для изображения полярных областей. В нормальных азимутальных проекциях меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из точки северного или южного полюса, а параллели являются концентрическими окружностями, центром которых является точка полюса.

 

Рис. 2.6. Положение вспомогательной плоскости при построении азимутальных проекций:

а) - касательная плоскость; б) – секущая плоскость.

 

Рис. 2.7. Положение вспомогательной цилиндрической поверхности при построении цилиндрических проекций:

а) – касательный цилиндр; б) – секущий цилиндр.

Рис. 2.8. Положение вспомогательной конической поверхности при построении конических проекций:

а) – касательный конус; б) – скущий конус.

Линии равных искажений (расстояний, углов и т.п.) называются изоколами. Так вот, для азимутальной проекции изоколы имеют вид концентрических окружностей, центром которых является точка нулевых искажений, если вспомогательная плоскость касается к поверхности земного шара в точке, либо они подобны линии нулевых искажений.

Чаще всего поперечные азимутальные проекции используют для изображения полушарий. Для изображения полярных областей часто используется нормальная равнопромежуточная проекция Постеля. Равнопромежуточная азимутальная проекция Постеля обладает свойством не искажать направления и расстояния, измеренные от центральной точки проекции, что является весьма важным в морской картографии.

 

 

Рис.2.9. Азимутальная проекция.

 

Азимутальные проекции строят также в поперечной и косой проекциях того же Постеля. Используются нормальные, поперечные и косые проекции Ламберта (азимутальные, разумеется), а также перспективные проекции. В проекциях Постеля нормальная сетка строится при условии сохранения главного масштаба карты по всем радиусам, т.е. меридианам. В связи с этим отрезки меридианов между соседними параллелями равны друг другу и являются выпрямленными дугами меридианов. А вот в проекции Ламберта отрезки меридианов не равны друг другу, а постепенно уменьшаются при удалении от точки нулевых искажений.

В азимутальной проекции, если вспомогательная плоскость касается поверхности земного шара в точке, центром проектирования может быть любая точка, находящаяся на линии, проходящей через точку нулевых искажений перпендикулярно к вспомогательной плоскости. Если центр проектирования находится в центре Земли, то такие проекции называют центральными, если центр проекций переместить в точку на поверхности Земли, противоположную точке нулевых искажений, то такие проекции называют стереографическими. А если центр проектирования удалить в бесконечность, т.е. проектирующие лучи будут в этом случае параллельными, то такие проекции называют ортографическими.

 

Рис. 2.10. Коническая проекция.

 

Равновеликая азимутальная (стереографическая) проекция обладает свойством, помимо сохранения величин углов, изображать любой круг сферы кругом на карте. В стереографической проекции строятся, в основном, мелкомасштабные обзорные и полётные карты на полярные районы.

В равновеликой азимутальной проекции Ламберта сохраняются пропорциональности площадей изображаемых объектов. Это является весьма удобным при составлении мелкомасштабных карт на большие участки земной поверхности.

Представьте себе, сколько различных азимутальных проекций можно получить, располагая центр проектирования во множестве других мест, названных выше!

Конические проекции (рис. 2.10) получаются при проектировании поверхности эллипсоида на коническую поверхность, которая потом разворачивается в плоскость. Меридианы нормальных конических поверхностей являются прямыми линиями, а параллели – окружностями.

Как азимутальные, так и конические проекции, кроме нормальных могут быть поперечными и косыми. В этих случаях меридианы и параллели на них изображаются сложными кривыми.

 

Рис. 2.11. Проекция Меркатора.

 

Из цилиндрических проекций наиболее распространенными являются проекция Меркатора, изображенная на рис. 2.11, проекция Ламберта (рис. 2.12)и проекция Гаусса (1777 – 1855) – рис 2.14, о которой подробно будет рассказано дальше.

Проекция Меркатора используется при составлении морских навигационных карт. Она была разработана в середине XVI века фламандским картографом, математиком и географом Г. Меркатором (1512 – 1594). Меркатор не успел дать теоретическую основу своей проекции, это сделали после него его сын Румальд, а затем, в 1599 г., английский ученый Эдуард Райт. Особенностью проекции является то, что масштаб длины в каждой точке сохраняется по всем направлениям, но изменяется при изменении широты и долготы. В связи с этим соотношение площадей на Земле и на карте не сохраняется. Другой особенностью проекции Меркатора является то, что локсодромии изображаются на ней прямыми линиями, которые пересекают меридианы под одним и тем же углом, что является весьма удобным в мореплавании.

Локсодромия в переводе с греческого означает «косой бег». На поверхности Земли она представляет собой спираль, которая приближается к полюсу, но никогда его не достигает. Локсодромия не является кратчайшим расстоянием между точками на поверхности земного эллипсоида. Кратчайшим расстоянием является линия ортодромии («прямой бег»), однако для небольших расстояний разница между локсодромией и ортодромией весьма незначительна.

Пространства около полюсов на карте Меркатора не изображаются. В проекции Меркатора точки Северного и Южного полюсов изображаются в бесконечности, т.е. не изображаются. Да и с ближайшими к полюсам областями происходит примерно то же самое. В связи с этим районы около Северного и Южного полюсов даются отдельной врезкой, составленной, чаще всего, в азимутальной проекции.

 

Рис.2.12. Проекция Ламберта.

 

В проекции Ламберта, наоборот, Северный и Южный полюсы изображаются, однако масштаб изображения при перемещении к полюсам значительно изменяется в зависимости от направления, настолько изменяется, что пользоваться такими картами, если они будут составлены для приполярных областей, не представляется возможным, поскольку изображение весьма деформируется при приближении к приполярным областям (сжимается). Из-за этого полярные области для пополнения проекции Ламберта также изображают отдельно в других проекциях.

Приём изображения местности в конической проекции весьма часто используется в т.н. поликонических проекциях. В данных проекциях градусная сетка переносится на боковые поверхности сразу нескольких касательных конусов. Меридианы и параллели (их проекции) вычерчиваются непрерывными усредненными по положению линиями. Средние меридианы в поликонических проекциях изображаются прямыми линиями, прямой линией изображается и экватор. Остальные меридианы – кривые линии, а параллели представляют собой дуги окружностей.

Часто используют и т.н. условные или произвольные проекции, которые могут создаваться без использования вспомогательных геометрических поверхностей: просто сетку строят по специально заданному условию. В связи с этим все условные (произвольные) проекции, построенные по разным условиям, имеют только им присущие искажения. Среди условных проекций чаще всего используют псевдоцилиндрические и псевдоконические проекции. На псевдоцилиндрических проекциях параллели представляют собой прямые линии, прямой линией является и средний меридиан проекции. Все остальные меридианы являются кривыми. Параллели псевдоконический проекций являются дугами концентрических окружностей, а меридианы, кроме центрального (прямого), изображаются кривыми линиями.

Число условий при разработке псевдоцилиндрических и псевдоконических проекций может быть бесконечно большим, поэтому бесконечно большим может быть и число условных проекций.

Но дальше, как уже говорилось выше, мы возвратимся к подробному рассмотрению одной из проекций – проекции Гаусса-Крюгера (см. § 10).

 

Общие сведения о топографических картах и планах

 

«Однажды играли в карты у конногвардейца Нарумова». А.С.Пушкин.«Пиковая дама» «Я планов наших люблю громадьё…» В.В.Маяковский.«Хорошо»

 

Не о тех картах в эпиграфах речь, не о тех планах. Хотя, если применить к строчке В.В.Маяковского понятие плана, о котором будет идти речь дальше, то слово «громадьё» как раз кстати. Уж чего-чего, а планов требуется именно такое количество.

Картой называют уменьшенное изображение на плоскости значительных по площади участков земной поверхности, построенное по определенным математическим законам с учётом кривизны Земли.

Не просто изображение участков земной поверхности, а уменьшенное их изображение, в отличие от определения, данного в «Словаре русского языка». То же относится и к определению плана.

План является уменьшенным подобным изображением небольших участков поверхности Земли, построенным в ортогональной проекции без учёта кривизны Земли.

Все карты делятся на две основные группы: научно-технические карты и карты общего использования.

Картами общего использования являются всевозможные учебные карты, туристические карты, карты прогноза погоды, карты-схемы и т.п.

К научно-техническим картам относятся топографические карты, мелкомасштабные географические карты, тематические карты и др.

Топографические карты, в свою очередь, делятся на топографические карты суши и топографические карты шельфа и внутренних водоемов. Основными из них являются топографические кары суши.

Шельф – это мелководная зона подводной окраины материков, распространяющаяся от береговой линии до резкого перегиба поверхности дна. Средний угол наклона шельфа составляет 7 угловых минут. Ширина шельфа колеблется от нескольких десятков метров до тысячи и более километров. Топографическая поверхность суши (береговой зоны) на картах шельфа передается с топографических карт суши. Другими элементами содержания карт шельфа являются математическая основа, ориентиры (в том числе навигационные), рельеф дна, берега, донные отложения (грунты), подводная растительность и донные организмы.

Топографические карты являются универсальными и могут использоваться в различных отраслях хозяйственной деятельности человека и в обороне страны. Они являются подробными картами, позволяющими определять как плановое, так и высотное положение точек на земной поверхности, а также характеристику и взаимосвязь объектов местности. Для топографических карт принят единый ряд масштабов: 1:1000000; 1:500000; 1:300000, 1:200000; 1:100000; 1:50000; 1:25000; 1:10000; 1:5000; 1:2000. Условно их делят на три группы:

- крупномасштабные (от 1:2000 до 1:50000);

- среднемасштабные (1:100000 - 1:300000);

- мелкомасштабные (1:500000 и 1:1000000).

Обратите внимание на то, что деление карт по их масштабу – условное. В другой литературе вы можете встретить и отличную от этой классификацию карт по масштабам.

Кроме того, поверхность Земли изображают и в более крупном масштабе: 1:1000 и 1:500. Топографические изображения в масштабах от 1:10000 до 1:1000000 называют топографическими картами, а в масштабах от 1:500 до 1:5000 – топографическими планами.

Отнесение масштабов 1:2000 и 1:5000 одновременно к топографическим картам и планам зависит от того, каким образом получены для них рамки: если рамки являются параллелями и меридианами, то данные изображения относят к картам; если рамки являются линиями сетки прямоугольных координат, то их относят к планам.

Поскольку топографические карты составляют на значительные по площади территории, то с геометрической точки зрения они представляют собой более или менее искажённое изображение земной поверхности. При этом б о льшие по размерам территории получают и б о льшие искажения в положении отображенных на карте объектов. Существует понятие частного масштаба карты в каждой конкретной её точке и по направлениям, исходящим из этой точки. Под частным масштабом понимается отношение длины бесконечно малого отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на поверхности эллипсоида или шара, которые используются в геодезии для описания формы Земли. На самой карте указывают главный масштаб, который отличается от частного масштаба тем, что он показывает степень уменьшения линейных размеров эллипсоида или шара при изображении на горизонтальной плоскости.

В отличие от карты топографические планы составляют в ортогональной проекции без учёта кривизны Земли, в связи с чем масштаб плана будет постоянным по всему изображению.

От масштаба изображения зависит та или иная степень детализации при изображении того или иного объекта. При графических работах ошибка измерений на карте (плане) или нанесения на неё информации может быть определена величиной в 0,1 мм (предельная ошибка составляет 0,2 мм), что примерно соответствует уколу циркуля-измерителя. При использовании топографической карты масштаба 1:М ошибка составит (0,1М) мм или (0,1М): 1000 м. Так, для карты масштаба 1: 10000 эта ошибка будет равна (0,1 × 10000) мм или 1 м, а для плана масштаба 1: 500, соответственно – 50 мм или 0,05 м.

Крупномасштабные топографические карты используются при детальном планировании и проектировании инженерных сооружений, производстве точных картометрических работ, при детальном изучении местности.

Среднемасштабные топографические карты используются для предварительного проектирования средних инженерных сооружений, при различных изысканиях в строительстве линейных сооружений и др. Указанные карты являются основой для создания карт обзорного вида.

Мелкомасштабные топографические карты значительно уступают в подробности изображения картам средних и крупных масштабов. Они используются для общего изучения местности, при производстве предварительного проектирования крупных инженерных сооружений, при анализе состояния больших площадей на территории государства, а также для составления обзорных тематических карт более мелкого масштаба.

На топографических картах независимо от их масштабов обязательно изображаются следующие объекты (если размеры объекта позволяют это сделать; если объект не может быть изображен в своих границах, то его обозначают определенным условным знаком): пункты Государственной геодезической сети (см. гл. 4); населённые пункты; отдельные строения, сооружения и предметы, являющиеся ориентирами (заводские и фабричные трубы, церкви, отдельно стоящие деревья, крупные камни и т.п.); объекты промышленности, сельскохозяйственные и социально-культурные объекты; дорожная сеть и сооружения, относящиеся к ней; объекты гидрографии и сооружения, относящиеся к ней; рельеф местности (см. § 15); растительный покров и грунты; границы и ограждения; в населённых пунктах (на топографических планах) объекты подземных и наземных коммуникаций.