Работа газа в изопроцессах

1) Изохорический процесс

, следовательно, , работа не совершается: , .

 

2) Изобарический процесс

. (8.11)

То же самое получим из графика рис.8.3 как площадь прямоугольника.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

Отсюда работа из (8.9):

. (8.12)

То же самое можно получить в интегральном виде:

Тогда

Или:

. (8.12а)

Соотношение (8.12) проясняет смысл универсальной газовой постоянной R:

;

универсальная газовая постоянная численно равна работе одного моля идеального газа при изобарном нагревании на 1 кельвин.

Изотермический процесс

Из уравнения Менделеева-Клапейрона выразим давление и подставим в (8.10):

,

(8.13)

 

 

Уравнение процесса: ; тогда

(8.14)

Применение первого начала термодинамики к изопроцессам с идеальным газом

Первое начало:

 

Изохорический процесс

,

. (8.15)

Тогда молярная теплоёмкость при постоянном объёме (см. (8.5)):

; (8.16)

или

, (8.17)

Откуда получим, что внутренняя энергия

. (8.18)

Количество теплоты, переданной газу при постоянном объёме:

, . (8.19)

2) Изобарический процесс ( )

По первому началу:

.

Из (8.12) и (8.17):

 

, (8.20)

где – молярная теплоёмкость при постоянном давлении по определению (8.5)

(8.21)

равна

. (8.22)

Соотношение (8.22) – это уравнение Майера. Теплоёмкость при постоянном объёме оказывается меньше, так как газ не совершает работу, и для нагревания газа на 1 К теплоты требуется меньше: как раз на величину R, имеющей смысл работы одного моля газа при постоянном давлении.

В термодинамике для характеристики газа часто используют величину – показатель Пуассона (показатель адиабаты). По определению, он равен отношению теплоёмкости газа при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме:

, (8.23)

, (8.24)

и из (8.17) и уравнения Менделеева-Клапейрона:

. (8.25)

Можно получить ещё несколько полезных соотношений. Так, при постоянном давлении

;

;

;

.

В и зохорическом процессе

.

Изотермический процесс

, следовательно, ,

.

По первому началу термодинамики и из (8.10), (8.13):

;

или

. (8.26)

 

Адиабатический процесс

По определению, адиабатический процесс протекает без теплообмена с окружающей средой: система не получает и не отдаёт теплоты.

; .

Адиабатными процессами будут процессы, протекающие

1) в системе с хорошей теплоизоляцией;

2) очень быстрые процессы, – система не успевает обменяться теплотой с окружающей средой за время протекания процесса.

Первое начало термодинамики для адиабаты:

Из уравнения Менделеева-Клапейрона , тогда

Поскольку (8.24), то

Разделяем переменные T и V:

.

Интегрируем:

Преобразуем:

Откуда

. (8.27)

Это – уравнение Пуассона (уравнение адиабаты). Его можно записать по-другому, если воспользоваться уравнением Менделеева-Клапейрона:

. (8.28)

 

(8.29)

График адиабаты (8.28) в осях p-V идёт несколько круче, чем изотермы (рис.8.5), поскольку показатель степени для V в (8.28) , а для изотермы показатель степени V равен 1: . Адиабата пересекается с любой изотермой в единственной точке.

Найдём работу в адиабатическом процессе. По первому началу термодинамики

. (8.30)

По (8.27)

;

.

Подставим в (8.30):

,

так как по (8.24) . Далее, , тогда

. (8.31)