Другою групою типових задач, що вивчаються в початковій школі, є задачі на пропорційне ділення. Розглянемо методику роботи над ними. У задачах на пропорційне ділення сталу величину ми знаходимо за загальними значеннями двох інших величин, причому загальне значення однієї велнчини вже дано за умовою задачі, а загальне значення другої величини слід знайти за даними значеннями кожного з випадків, про які йдеться в задачі.
Наведемо приклад міркування для пошуку розв'язку задачі такого типу:
Задана. На підводу поклали 4 мішки жита і 3 мішки пшениці, в кожному порівну. Усього зерна - 560 кг. Скільки кілограмів жита і скільки кілограмів пшениці поклали на підводу?
Вчитель читає задачу, наголошуючи на основних словах і числових даних.
а) Розбір умови та короткий запис задачі (нижчий рівень).
Бесіда.
Що означає в задачі число 4? (Кількість мішків). Назвемо так колонку в таблиці. Пишемо.
Що означає слово "порівну"? (Маса кожного мішка однакова). - Назвемо так другу колонку. Пишемо
Якщо маємо в таблиці кількість мішків і масу одного мішка, то як назвемо третю колонку? (Загальна маса). - Пишемо.
Про що говориться в умові задачі? (Про жито і пшеницю). - Пишемо збоку.
Скільки мішків жита поклали на підводу? (4). - Пишемо.
Скільки мішків пшениці поклали на підводу? (3). - Пишемо.
Що говориться про масу одного мішка? (Вона однакова). Пишемо.
Чи відомо, скільки кілограмів жита поклали на підводу? (Невідомо). - Поставимо знак запитання.
Чи відомо, скільки кілограмів пшениці поклали на підводу? (Невідомо). - Поставимо знак запитання.
А що ще відомо в задачі? (Усього зерна 560 кг). - Пишемо.
| Кі-сть | Маса одного | Заг. маса | |
| мішків | мішка | ||
| Жито | 4 | Однакова | ? |
| Пшениця | 3 ] 560 | ? |
Короткий запис задачі такий:
б) Розбір умови та короткий запис задачі (вищий рівень). Про які величини йде мова в задачі? (Кількість мішків, масу одного мішка, загальну масу). - Назвемо гак колонки. Пишемо.
Про яке зерно говориться в задачі? (Жито і пшеницю). -- Пишемо збоку. Яка кількість мішків жита? (4). - Пишемо. Яка кількість мішків пшениці? (3). - Пишемо. Яка маса одного мішка? (Однакова). - Пишемо. Яка загальна маса жита'1 (Невідомо). - Поставимо знак запитання. Яка загальна маса пшениці? (Невідомо). - Поставимо знак запитання. А що ще відомо в задачі? (Загальну масу всього зерна). Як це позначити схематично? (Фігурною дужкою).
Яка загальна маса всього зерна? (560 кг). - Пишемо.
Аналіз задачі (структурний). Міркування учнів будемо проводити за такою схемою:
Бесіда.
- Про що питається в задачі? (Скільки кг жита і скільки кілограмів пшениці поклали на підводу? (Розділимо це питання на два, і спочатку знайдемо скільки кг жита поклали на підводу.
- Що потрібно знати, щоб дати відповідь на це питання? (Кі-сть мішків і масу одного мішка).
- Що маємо, а що треба знайти? (Маємо кі-сть мішків, треба знайти масу одного мішка).
- Що потрібно знати, щоб знайти масу одного мішка? (Загальну масу усього зерна і кількість усіх мішків).
- Що відомо? (Загальна маса усього зерна).
Що треба знайти? (Загальну кі-сть мішків).
Що нам відомо про кількість мішків? (Відома кількість мішків жита і кількість мішків пшениці).
Якою дією знайдемо загальну кількість мішків? (Дією додавання).
Як можна знайти масу одного мішка? (Загальну масу зерна поділити на кількість мішків).
А тепер можемо дати відповіді, на питання задачі: скільки кілограмів жита поклали на підводу? Якою дією? (Дією множення).
За допомогою якої дії знайдемо, скільки кілограмів пшениці поклали на підводу? (Дії множення).
Складемо план розв'язування задачі:
1) Скільки було всіх мішків із зерном?Яка маса одного мішка?Скільки кілограмів жита поклали на підводу?Скільки кілограмів пшениці поклали на підводу?
Розв'язання запишемо діями з наступним поясненням. 4 + 3 = 7 (шт.) - кількість мішків 56(1: 7 = 80 (кг) - маса одного мішка 80 х 4 =320 (кг)-жита 80 х 3 = 240 (кг) - пшениці Відповідь. 320 кг жита і 240 кг пшениці поклали на підводу.
Перевірку задачі можна здійснити, додавши 320 кг і 240 кг. Отримуємо 560 кг. Це те, що було відомо в задачі.
Можна зробити перевірку, розв'язавши задачу другим способом, а саме: 4+3 = 7 (шт.) - кількість мішків жита 560: 7 = 80 (кг) - маса одного мішка 80 х 4 = 320 (кг) - загальна маса жита 560 - 320 = 240 (кг) - загальна маса пшениці Відповідь. 320 кг жита, 240 кг пшениці.
Так само можна працювати над такими задачами:
На базу завезли 2 вагони бурого вугілля і 4 вагони антрациту, в кожному вагоні порівну. Усього завезли 96т вугілля. Скільки завезли бурого вугілля і скільки антрациту?
Склади задачу за коротким записом і розв'яжи її.
| Кі-сть ящиків | Маса одного ящика | Заг.маса | |
| 1-ий магазин 2-ий магазин | ? ? 8 | Однакова | 60 кг 36 кг |
Отже, уміння розв'язувати задачі на пропорційне ділення чисел такі:
· при розборі умови задачі необхідно виділити сталу величину;
· скласти короткий запис задачі у формі таблиці;
· під час проведення пошуку розв'язання задачі усвідомити, що сталу величину ми знаходимо за загальними значеннями двох інших величин, причому, загальне значення однієї величини вже дано в умові задачі, а загальне значення другої величини слід знайти за даними значеннями кожного з випадків, про які йдеться в задачі;
· розв'язання перевірити, встановлюючи відповідність між числами, знайденими у відповіді, і даними: треба додати числа, знайдені у відповіді і дістати число, задане в задачі.
16. Методика навчання розв’язування задач на рух.
Учні тоді успішно справляться з цими задачами, коли усвідомлять, що: при одночасному зустрічному русі тіла обов’язково зустрінуться; до зустрічі вони будуть в дорозі однаковий час; вся відстань, яку вони пройшли – дорівнює сумі відстаней першого і другого тіла; за одиницю часу тіла зближаються на відстані, що дорівнює чисельно сумі їх швидкостей.
Як домогтися вчителеві такого усвідомлення учнями математичного змісту цих задач, ми розглянемо на конкретних задачах, взятих з підручника математики.
Задача. З двох населених пунктів, відстань між якими 90 км виїхали одночасно назустріч один одному два велосипедиста. Перший з них рухався з швидкістю 14 км/год, а другий – 16 км/год. Через скільки годин велосипедисти зустрінуться?
Читаючи задачу, вчитель наголошує на основні слова і числові значення. Розбір умови то короткий запис задачі.
Про кого говориться в задачі? (Про двох велосипедистів). Звідки вони рухались? (З 2-х нас. пунктів). – Позначимо відстань між ними відрізком. Яка відстань між нас. пунктами? (90 км). Як це позначимо схематично? (фігурною дужкою). – Позначимо. Як рухались вело-сти? (Назустріч один одному. – Позначимо стрілками. Яка ш-сть 1-го велосипедиста? (14 км/год). – Пишемо. Яка ш-ть другого ве-ста? (16 км/год). – Пишемо. Вони зустрінуться? (так). – Місце зустрічі позначимо прапорцем. Через скільки годин вони зустрінуться? (невідомо). – поставимо знак питання.
Умова задачі, записана у вигляді рисунка – схеми, матиме такий вигляд. Намалюєте самі)))
Аналіз задачі (від питання до умови)
Яке питання задачі? (через скільки годин зустрінуться ве-сти?). Чи можемо відразу дати відповідь? (не можемо). Що для цього треба знати? (відстань між нас. пунктами і швидкість зближення). Що відомо, а що треба взнати? (Відомо відстань між нас. пунктами, треба знайти ш-сть зближення). Чи можемо ми це взнати? Якою дією? (Додавання: додати кількості обох ве-стів). Знаючи відстань між нас. пунктами і ш-сть зближення, якою дією знайдемо через скільки годин зустрінуться вело-сти? (Дією ділення).
Усний план розв’язування:
Що знайдемо спочатку? Якою дією? Що знайдемо потім? Якою дією?
Розв’язування задачі за планом.
На скільки кілометрів зближаються велосипедисти за 1 год?
14+16=30(км/год)
Через скільки годин вело-сти зустрінуться? 90:30=3(год).
Відповідь. Вело-сти зустрінуться через 3 год.
Ще одна методика роботи над однією задачею.
Задача. З двох міст, відстань між якими 4600км, виходить одночасно назустріч один одному два потяги. Швидкість першого потяга 60 км/год, а другого – 65 км/год. На якій відстані один від одного будуть потяги через 3 год. Після виходу?
Розбір умови та короткий запис задачі.
Бесіда. Про що говориться в задачі? (про 2 потяги). Як вони рухались? (З двох міст назустріч один одному). – Позначимо схематично відстань між містами відрізком, а напрям руху стрілочками. Які відстань між містами? (4600км). – Пишемо. Яка ш-сть першого потяга? (60 км/год). – пишемо. Яка ш-сть 2-го потяга? (65 км/год). – Пишемо. Скільки часу були в дорозі потяги? (3 год). – Зобразимо це на схемі відрізками. Відстань, яка залишилася між потягами відома? (Ні). – Позначимо знак запитання.
Малюємо самі дівчатка)))))
Аналіз задачі (від питання до умови)
Бесіда. Яке питання задачі? (На якій відстані один від одного будуть потяги через 3 год?). Чи можемо відразу дати відповідь на питання задачі? (Не можемо). Що для цього потрібно мати? (Відстань, яку пройшов перший потяг за 3 год. і відстань, яку пройшов 2-ий потяг за цей час, а також відстань між містами). Що для цього нам відомо? (Відстань між містами). А що не відомо? (Відстані, які пройшли окремо 1-ий 2-ий потяги). Як можна знайти відстань, яку пройшов 1-ий потяг? (Його ш-сть помножити на час). Якою дією знайдемо відстань, яку пройшов 2-ий потяг? (Множення). Знаючи відстань, яку пройшли два потяги окремо за 3 год., що можна знайти? (відстань, яку вони пройшли разом за 3 год.). якою дією? (Додавання). Чи можемо вже дати відповідь на питання задачі? (можемо). Якою дією? (Віднімання: від відстані між містами віднімемо відстань, яку пройшли потяги за 3 год).
Розв’язання задачі запишемо за письмовим планом:
Яку відстань пройшов 1-ий потяг за 3 год.? 60*3=180)км)
Яку відстань пройшов 2-ий потяг за 3 год.? 65*3=195(км)
Яку відстань пройшли два потяги разом за 3 год.? 180+195=375(км)
На якій відстані будуть потяги один від одного через 3 год.? 460-375=85(км)
Відповідь. На відстані 85 км будуть потяги один від одного через 3 год.
Перевірку розв’язання задачі можна здійснити, розв’язавши цю задачу іншим способом. Другий спосіб.
60+65-відстань, яку пройшли обидва потяги за 1 год;
(60+65)*3-від-нь, пройдена потягами за 3 год;
Х+(60+65)*3 – від-нь між містами;
Складаємо і розв’язуємо рівняння: Х+(60+65)*3=460
Х+(125*3)=460
Х+375=460
Х=460-375
Х=85(км)
Відповідь. На відстані 85 км один від одного будуть потяги через три години.
Відповіді до задачі однакові в обох випадках. Отже, задача розв’язана правильно.
Розв’язання цих задач грунтується на таких їх особливостями:знанні залежності між швидкістю, часом і відстанню; при одночасному зустрічному русі тіла обов’язково зустрінуться; до зустрічі вони будуть в дорозі однаковий час; всі відстань, яку вони пройшли дорівнює сумі відстаней першого і другого тіла; за одиницю часу тіла зближаються на відстань, що дорівнює чисельно сумі їх швидкостей.
