Математическим ожиданием непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу [ a, b ], называется определенный интеграл 
т.е.
М (Х) = (2.7.1)
Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то
М (Х) = 
при этом предполагается что интеграл существует.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины:
(2.7.2)
Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то
Свойства М (х) и D (x) формулируются так же, как и соответствующие свойства для дискретной величины.
Величину σx = 
называют средним квадратическим отклонением случайной величины или стандартом, σx имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Из формулы (12.7.2) нетрудно получить более удобные формулы для вычисления дисперсии, а именно:
(2.7.3)
(2.7.4)
Пример. Случайная величина х задана функцией распределения
Найдите: 1) коэффициент а; 2) М (Х); 3) D (X).
Решение. Используя формулу (2.6.4), получаем
1. 
2. 
3. 
П. 2.8. ПРИМЕРЫ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ
НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Случайные величины, имеющие нормальное распределение, очень часто встречаются в земледелии и животноводстве, ветеринарии, инженерном деле и в других отраслях знания. Приведем примеры таких величин:
1. масса клубня картофеля;
2. масса одного зерна пшеницы некоторого сорта;
3. содержание жира в молоке, полученного от различных животных;
4. содержание кормовых единиц в суточном рационе шестимесячных телок;
5. масса животного некоторой породы на определенную дату;
6. погрешности измерений.
Для этих величин характерным является то, что на их формирование влияет большое число факторов, причем влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими. Эти величины можно отнести к величинам, имеющим нормальный закон распределения, полагая, что их возможные значения не отрицательны.
Определение. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее функция плотности вероятности имеет вид
(2.8.1)
где σ и а - параметры распределения.
График функции f (x) называется кривой нормального распределения. Методами дифференциального исчисления можно установить, что:
1) кривая симметрична относительно прямой х = а;
2) функция имеет максимум при х = а,
3) по мере удаления х от точки а функция убывает и при х → ±¥ кривая приближается к оси Ох;
4) кривая выпукла при 
и вогнута при 
и при 
. График функции f (x) имеет вид, изображенный на рис. 5.
Форма кривой изменяется с изменением параметра σ. С возрастанием σ функция f (x) убывает, кривая становится более пологой и растянутой вдоль оси Ох.
Рис. 5
Значениям случайной величины, близким к математическому ожиданию, соответствует большая плотность вероятности, т. е. малые отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания встречаются более часто, чем большие.
Параметр а есть математическое ожидание случайной величины, а σ - среднее квадратическое отклонение.
Пример 1. Известно, что случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, М (Х) = 6, σ2 = 9. Найдите функцию плотности вероятности.
Решение. Имеем а = 6, а = 3:
Пример 2. Известно, что случайная величина X подчиняется нормальному закону с функцией плотности вероятности
Найдите М (Х) и D (X).
Решение. Имеем M (X) = 15, D (X) = σ2 = 102 = 100.
