П. 2. 5. Непрерывная случайная величина. Интегральная функция (закон) распределения

В п. 2.1 дано определение непрерывной случайной величины. Возможные значения непрерывной случайной величины перечислить нельзя, так как их число бесконечно велико, и поэтому закон распределения в виде таблицы также нельзя составить, если не прибегнуть к упрощениям.

Возьмем бесконечный интервал (–¥, х), х – произвольное действительное число. Предположим, что в результате испытания случайная величина X приняла одно из значений x ₁, x_i (–¥, x) т.е. оказалось, что Х<х. Событие, состоящее в том, что при одном испытании случайная величина X примет значение, меньшее, чем некоторое число х, имеет определенную вероятность, зависящую от х. Вероятность события = {Х<х} является функцией х:

Р (X < x) = F (x). (2.5.1)

Определение. Интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения случайной величины X называется вероятность Р (Х < х) события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, меньшее х.

На числовой прямой равенство P (X < x) = F (x) определяет вероятность попадания случайной точки X левее точки х.

Свойства функции F (x).

1°. F (x) – величина безразмерная и изменяется на множестве [0, 1], т. e. 0 ≤ F (x) ≤ 1, так как F (x) – вероятность события.

2°, F(x) – функция неубывающая, т. е. F (x ₁)≤ F (x ₂) при х ₁< х ₂.

Свойство очевидно, если принять во внимание геометрический смысл F (x).

3°. P (x ₁ ≤ X < x ₂) = F (x ₂) – F (x ₁) (2.5.2)

Доказательство. Событие, состоящее в осуществлении неравенства Х < х ₂, может быть представлено как сумма двух несовместных событий:

(Х < х ₂) = (x ₁≤ X < x ₂) + (X < x ₁),

Тогда

P (Х < х ₂) = P (x ₁≤ X < x ₂) + P (X < x ₁),

или

P (x ₁≤ X < x ₂) = P (Х < х ₂) – P (X < x ₁) = F (x ₂) – F (x ₁).

4° F (–¥) = 0 и F (+¥) = 1.

Свойство 4° вытекает из определения (2.5.1). График функции F (x) см. на рис. 1.

Интегральную функцию можно составить и для дискретной случайной величины:

П. 2.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Возьмем на числовой прямой интервал (х, х + Δ х). По формуле (2.5.2) находим

P (x < X < x + Δ x) = F (x + Δ x) – F (x)

Рис. 2

Определение. Выражение называется средней плотностью вероятности случайной величины на интервале [ x, x +Δ x ]

Определение. Предел средней плотности вероятности при Δ x →0 называется дифференциальной функцией или плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины и обозначается f (x),