Косвенный метод наименьших квадратов

Для оценки параметров взаимозависимых уравнений системы (4.2) используется косвенный метод наименьших квадратов, сущность которого состоит в том, что система уравнений разрешается относительно Y, так, чтобы в правых частях уравнений оставались только факторные переменные X. Затем к полученным уравнениям применяется обычный метод наименьших квадратов, и, используя полученные оценки параметров, определяют оценки исходных параметров системы.

Пусть строится простейшая система взаимозависимых уравнений вида

(4.4)

Требуется по имеющимся данным о значениях переменных построить систему взаимозависимых уравнений регрессии вида:

(4.5)

Систему (4.5) называют структурной формой модели, а параметры a ₁₀, b ₁₂, a ₁₁, a ₂₀, b ₂₁ и a ₂₂ — структурными коэффициентами. Подставив правую часть второго уравнения вместо переменной в первое уравнение, после преобразований получим:

.

(4.6)

Обозначим как d ₁₀, как d ₁₁, а как d ₁₂. Тогда уравнение (4.6) примет вид:

.

(4.7)

Уравнение (4.7) называется приведенным уравнением системы взаимозависимых уравнений регрессии. Аналогичным образом, подставив правую часть первого уравнения системы (4.5) вместо переменной во второе уравнение, и проведя преобразования, получимвторое приведенное уравнение

,

(4.8)

где , , .

Уравнения (4.7) и (4.8) образуют приведенную форму системы взаимозависимых уравнений регрессии

(4.9)

а параметры уравнений d ₁₀, d ₁₁, d ₁₂, d ₂₀, d ₂₁ и d ₂₂ называются приведенными коэффициентами. Эти коэффициенты определяют обработкой исходных данных обычным методом наименьших квадратов. Структурные коэффициенты рассчитываются через приведенные по формулам, полученным обратным преобразованием системы (4.9) в (4.5):

; ; ; ; ; .

(4.10)

Для того чтобы перейти от приведенной формы системы к структурной и наоборот система уравнений должна быть однозначно идентифицируема. В этом случае все ее структурные коэффициенты единственным образом определяются по коэффициентам приведенной формы системы [1, 3, 5, 8, 9, 11, 12].

Пример 4.1

Имеются значения результативных Y ₁, Y ₂ и факторных X ₁, X ₂ переменных:

Наблюдение	Y 1	Y 2	X 1	X 2
	46,5	44,5	18,2	15,2
	49,6	55,3	18,9	14,3
	65,9	62,9	13,2	22,8
	52,4	48,6	12,6	16,9
	45,6	43,2	13,2	17,6
	52,3	58,6	14,2	17,5
	50,3	55,3	17,5	14,9
	62,3	66,3	21,6	21,5
	67,6	58,9	15,2	26,3
	52,3	58,3	18,2	16,3
	56,8	62,3	13,6	22,7
	70,3	68,3	21,6	17,2

Используя косвенный метод наименьших квадратов, требуется построить систему взаимозависимых уравнений в виде:

Решение

В начале строим уравнения приведенной формы системы одновременных уравнений регрессии:

С помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия» табличного процессора EXCEL (см. § 5.3) определяем коэффициенты приведенной формы (табл. 4.1).

Таблица	4.1
Результаты регрессионного анализа в EXCEL

 

Уравнение регрессии 1	Коэффициент	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	2,126	13,730	0,155	0,880
Х1	1,201	0,523	2,297	0,047
Х2	1,831	0,449	4,073	0,003
Уравнение регрессии 2	Коэффициент	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	8,424	15,529	0,542	0,601
Х1	1,449	0,591	2,451	0,037
Х2	1,319	0,508	2,595	0,029

 

Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения: d ₁₀=2,126; d ₁₁=1,201; d ₁₂=1,831; d ₂₀=8,424; d ₂₁=1,449 и d ₂₂=1,319, и система уравнений примет вид:

Коэффициенты структурной формы системы уравнений регрессии

определяем по формулам:

;

;

;

;

;

.

Окончательно структурная форма системы примет вид:

Контрольные задания

Используя ряды значений переменных, выполнить расчеты в соответствии с заданием к примеру 4.1.

Наблюдение	Ряд значений переменной
А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К
	28,3	36,9	18,2	33,3	37,6	34,4	35,6	32,6	14,5	42,4
	25,2	45,8	15,6	35,4	29,1	20,4	37,3	42,6	18,6	25,0
	32,1	33,4	23,6	20,1	20,3	31,3	19,6	38,6	28,9	38,2
	25,0	39,9	17,6	30,6	21,7	45,6	32,5	35,6	16,3	25,6
	18,3	41,8	14,3	47,8	42,6	24,3	28,9	39,6	15,6	26,3
	26,3	45,3	22,1	25,9	38,3	31,8	29,6	42,6	25,6	28,6
	42,5	22,8	28,9	21,7	20,3	47,6	22,3	28,6	32,6	40,7
	25,8	41,8	15,3	32,1	42,3	34,1	35,6	38,5	19,6	23,2
	29,6	31,6	26,9	38,3	37,2	25,6	34,2	34,5	29,5	52,3
	27,3	49,7	22,3	30,4	25,1	45,9	32,5	46,9	18,7	28,6
	22,1	48,5	15,6	47,2	40,8	29,1	52,1	45,7	16,3	35,6
	24,6	46,3	16,8	37,5	25,7	38,9	35,6	45,8	17,2	38,9

 

Каждому варианту соответствуют следующие сочетания рядов:

 

Вариант

Переменная

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

Ряд

А

Б

В

Г

Б

В

Г

Д

В

Г

Д

Е

Г

Д

Е

Ж

 

Вариант

Переменные

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

Ряд

Д

Е

Ж

З

Е

Ж

З

И

Ж

З

И

К

А

Б

Г

Д

 

Вариант

Переменные

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

у 1

у 2

х 1

х 2

Ряд

Б

В

Д

Е

В

Г

Е

Ж

Г

Д

З

И

Е

Ж

И

К

 

Возможны и иные сочетания рядов значений переменных.