Для оценки параметров взаимозависимых уравнений системы (4.2) используется косвенный метод наименьших квадратов, сущность которого состоит в том, что система уравнений разрешается относительно Y, так, чтобы в правых частях уравнений оставались только факторные переменные X. Затем к полученным уравнениям применяется обычный метод наименьших квадратов, и, используя полученные оценки параметров, определяют оценки исходных параметров системы.
Пусть строится простейшая система взаимозависимых уравнений вида
| (4.4) |
Требуется по имеющимся данным о значениях переменных построить систему взаимозависимых уравнений регрессии вида:
| (4.5) |
Систему (4.5) называют структурной формой модели, а параметры a 10, b 12, a 11, a 20, b 21 и a 22 — структурными коэффициентами. Подставив правую часть второго уравнения вместо переменной 
в первое уравнение, после преобразований получим:
 .
| (4.6) |
Обозначим 
как d 10, 
как d 11, а 
как d 12. Тогда уравнение (4.6) примет вид:
 .
| (4.7) |
Уравнение (4.7) называется приведенным уравнением системы взаимозависимых уравнений регрессии. Аналогичным образом, подставив правую часть первого уравнения системы (4.5) вместо переменной 
во второе уравнение, и проведя преобразования, получимвторое приведенное уравнение
 ,
| (4.8) |
где 
, 
, 
.
Уравнения (4.7) и (4.8) образуют приведенную форму системы взаимозависимых уравнений регрессии
| (4.9) |
а параметры уравнений d 10, d 11, d 12, d 20, d 21 и d 22 называются приведенными коэффициентами. Эти коэффициенты определяют обработкой исходных данных обычным методом наименьших квадратов. Структурные коэффициенты рассчитываются через приведенные по формулам, полученным обратным преобразованием системы (4.9) в (4.5):
 ;  ;  ;  ;  ;  .
| (4.10) |
Для того чтобы перейти от приведенной формы системы к структурной и наоборот система уравнений должна быть однозначно идентифицируема. В этом случае все ее структурные коэффициенты единственным образом определяются по коэффициентам приведенной формы системы [1, 3, 5, 8, 9, 11, 12].
Пример 4.1
Имеются значения результативных Y 1, Y 2 и факторных X 1, X 2 переменных:
| Наблюдение | Y 1 | Y 2 | X 1 | X 2 |
| 46,5 | 44,5 | 18,2 | 15,2 | |
| 49,6 | 55,3 | 18,9 | 14,3 | |
| 65,9 | 62,9 | 13,2 | 22,8 | |
| 52,4 | 48,6 | 12,6 | 16,9 | |
| 45,6 | 43,2 | 13,2 | 17,6 | |
| 52,3 | 58,6 | 14,2 | 17,5 | |
| 50,3 | 55,3 | 17,5 | 14,9 | |
| 62,3 | 66,3 | 21,6 | 21,5 | |
| 67,6 | 58,9 | 15,2 | 26,3 | |
| 52,3 | 58,3 | 18,2 | 16,3 | |
| 56,8 | 62,3 | 13,6 | 22,7 | |
| 70,3 | 68,3 | 21,6 | 17,2 |
Используя косвенный метод наименьших квадратов, требуется построить систему взаимозависимых уравнений в виде:
Решение
В начале строим уравнения приведенной формы системы одновременных уравнений регрессии:
С помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия» табличного процессора EXCEL (см. § 5.3) определяем коэффициенты приведенной формы (табл. 4.1).
| Таблица | 4.1 |
| Результаты регрессионного анализа в EXCEL |
| Уравнение регрессии 1 | Коэффициент | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение |
| Y-пересечение | 2,126 | 13,730 | 0,155 | 0,880 |
| Х1 | 1,201 | 0,523 | 2,297 | 0,047 |
| Х2 | 1,831 | 0,449 | 4,073 | 0,003 |
| Уравнение регрессии 2 | Коэффициент | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение |
| Y-пересечение | 8,424 | 15,529 | 0,542 | 0,601 |
| Х1 | 1,449 | 0,591 | 2,451 | 0,037 |
| Х2 | 1,319 | 0,508 | 2,595 | 0,029 |
Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения: d 10=2,126; d 11=1,201; d 12=1,831; d 20=8,424; d 21=1,449 и d 22=1,319, и система уравнений примет вид:
Коэффициенты структурной формы системы уравнений регрессии
определяем по формулам:
;
;
;
;
;
.
Окончательно структурная форма системы примет вид:
Контрольные задания
Используя ряды значений переменных, выполнить расчеты в соответствии с заданием к примеру 4.1.
| Наблюдение | Ряд значений переменной | |||||||||
| А | Б | В | Г | Д | Е | Ж | З | И | К | |
| 28,3 | 36,9 | 18,2 | 33,3 | 37,6 | 34,4 | 35,6 | 32,6 | 14,5 | 42,4 | |
| 25,2 | 45,8 | 15,6 | 35,4 | 29,1 | 20,4 | 37,3 | 42,6 | 18,6 | 25,0 | |
| 32,1 | 33,4 | 23,6 | 20,1 | 20,3 | 31,3 | 19,6 | 38,6 | 28,9 | 38,2 | |
| 25,0 | 39,9 | 17,6 | 30,6 | 21,7 | 45,6 | 32,5 | 35,6 | 16,3 | 25,6 | |
| 18,3 | 41,8 | 14,3 | 47,8 | 42,6 | 24,3 | 28,9 | 39,6 | 15,6 | 26,3 | |
| 26,3 | 45,3 | 22,1 | 25,9 | 38,3 | 31,8 | 29,6 | 42,6 | 25,6 | 28,6 | |
| 42,5 | 22,8 | 28,9 | 21,7 | 20,3 | 47,6 | 22,3 | 28,6 | 32,6 | 40,7 | |
| 25,8 | 41,8 | 15,3 | 32,1 | 42,3 | 34,1 | 35,6 | 38,5 | 19,6 | 23,2 | |
| 29,6 | 31,6 | 26,9 | 38,3 | 37,2 | 25,6 | 34,2 | 34,5 | 29,5 | 52,3 | |
| 27,3 | 49,7 | 22,3 | 30,4 | 25,1 | 45,9 | 32,5 | 46,9 | 18,7 | 28,6 | |
| 22,1 | 48,5 | 15,6 | 47,2 | 40,8 | 29,1 | 52,1 | 45,7 | 16,3 | 35,6 | |
| 24,6 | 46,3 | 16,8 | 37,5 | 25,7 | 38,9 | 35,6 | 45,8 | 17,2 | 38,9 |
Каждому варианту соответствуют следующие сочетания рядов:
| Вариант | ||||||||||||||||
| Переменная | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 |
| Ряд | А | Б | В | Г | Б | В | Г | Д | В | Г | Д | Е | Г | Д | Е | Ж |
| Вариант | ||||||||||||||||
| Переменные | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 |
| Ряд | Д | Е | Ж | З | Е | Ж | З | И | Ж | З | И | К | А | Б | Г | Д |
| Вариант | ||||||||||||||||
| Переменные | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 | у 1 | у 2 | х 1 | х 2 |
| Ряд | Б | В | Д | Е | В | Г | Е | Ж | Г | Д | З | И | Е | Ж | И | К |
Возможны и иные сочетания рядов значений переменных.
