(коэффициент детерминации R 2=0,494).
Возникло предположение, что во временном ряду остатков регрессии присутствует автокорреляция первого порядка. Для ее выявления была рассчитана d ‑статистикаДарбина–Уотсона:
.
Проверить статистическую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, если нижняя и верхняя критические границы d ‑критерия на уровне значимости a=0,05 имеют соответственно значения d 1=0,93 и d 2=1,32.
Ответ:
а) Гипотеза не отклоняется.
б) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует положительная автокорреляция.
в) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует отрицательная автокорреляция.
г) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу (область неопределенности критерия Дарбина–Уотсона).
Вопрос 3.18
Аналитиком коммерческого банка изучается влияние средневзвешенной процентной ставки по кредитам (переменная X, % годовых) на месячный объем ссуд, выданных физическим лицам (переменная Y, млн. руб.). Имеются временные ряды переменных за девять месяцев:
| Месяц | |||||||||
| X | 17,52 | 17,56 | 18,23 | 18,02 | 18,17 | 17,92 | 17,84 | 17,02 | 17,22 |
| Y | 132,8 | 100,9 | 34,3 | 63,8 | 76,0 | 59,5 | 59,3 | 114,8 | 106,0 |
Было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,663).
Возникло предположение, что во временном ряду остатков регрессии присутствует автокорреляция первого порядка. Для ее выявления была рассчитана d ‑статистикаДарбина–Уотсона:
.
Проверить статистическую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, если нижняя и верхняя критические границы d ‑критерия на уровне значимости a=0,05 имеют соответственно значения d 1=0,82 и d 2=1,32.
Ответ:
а) Гипотеза не отклоняется.
б) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует положительная автокорреляция.
в) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует отрицательная автокорреляция.
г) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу (область неопределенности критерия Дарбина–Уотсона).
Вопрос 3.19
Потенциальным инвестором изучается зависимость доходности акции транспортной компании (переменная Y, % годовых) от доходности (индекса) фондового рынка (переменная X, % годовых). Имеются данные за тринадцать кварталов:
| Квартал | |||||||||||||
| X | 4,41 | 5,20 | 2,63 | 4,92 | 2,30 | 5,26 | 4,21 | 6,33 | 0,58 | 1,85 | 3,02 | 2,60 | 4,87 |
| Y | 13,02 | 4,64 | 4,12 | 5,00 | 7,12 | 4,24 | 2,34 | 15,68 | -5,88 | -4,90 | 8,46 | 1,40 | 9,62 |
Было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,514).
Возникло предположение, что во временном ряду остатков регрессии присутствует автокорреляция первого порядка. Для ее выявления была рассчитана d ‑статистикаДарбина–Уотсона:
.
Проверить статистическую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, если нижняя и верхняя критические границы d ‑критерия на уровне значимости a=0,05 имеют соответственно значения d 1=1,01 и d 2=1,34.
Ответ:
а) Гипотеза не отклоняется.
б) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует положительная автокорреляция.
в) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует отрицательная автокорреляция.
г) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу (область неопределенности критерия Дарбина–Уотсона).
Вопрос 3.20
По девяти строительным компаниям исследуется зависимость годового объема реализованной жилой площади (переменная Y, тыс. м2) от среднегодовой стоимости основных фондов (переменная X, млн. руб.):
| Компания | |||||||||
| X | 90,3 | 70,6 | 98,2 | 64,3 | 80,3 | 85,1 | 93,0 | 110,4 | 103,9 |
| Y | 156,7 | 104,1 | 171,1 | 105,7 | 82,3 | 122,5 | 115,3 | 199,4 | 166,6 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,707).
При более детальном анализе полученных результатов возникло подозрение, что имеются наблюдения, являющиеся аномальными по отношению к другим наблюдениям (выбросы). Для выявления выбросов были определены для каждого наблюдения предсказываемые уравнением регрессии значения результата 
, остатки регрессии 
и рассчитаны стандартные остатки 
(i =1, 2, …, 9):
| Компания | |||||||||
|
| 140,0 | 97,3 | 157,0 | 83,7 | 118,3 | 128,7 | 145,8 | 183,4 | 169,4 |
| 16,7 | 6,8 | 14,1 | 22,0 | -36,0 | -6,2 | -30,5 | 16,0 | -2,8 |
| 0,75 | 0,30 | 0,63 | 0,98 | -1,60 | -0,28 | -1,36 | 0,71 | -0,12 |
Имеются ли подозрительные наблюдения, которые могут быть аномальными по отношению к другим наблюдениям, если табличное значение t ‑критерия Стьюдента на уровне значимости a=0,05 составляет 2,365?
Ответ:
а) Подозрительных наблюдений нет.
б) Имеется подозрительное наблюдение среди компаний 1 — 3.
в) Имеется подозрительное наблюдение среди компаний 4 — 6.
г) Имеется подозрительное наблюдение среди компаний 7 — 9.
Вопрос 3.21
По двенадцати машиностроительным предприятиям исследуется зависимость годового объема выпускаемой продукции (переменная Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (переменная X, млн. руб.):
| Предприятие | ||||||||||||
| X | ||||||||||||
| Y |
Было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,354).
При более детальном анализе полученных результатов возникло подозрение, что имеются наблюдения, являющиеся аномальными по отношению к другим наблюдениям (выбросы). Для выявления выбросов были определены для каждого наблюдения предсказываемые уравнением регрессии значения результата , остатки регрессии и рассчитаны стандартизированные остатки (i =1, 2, …, 12):
| Предприятие | ||||||||||||
|
| 37,6 | 20,5 | 41,7 | 18,6 | 23,7 | 25,3 | 32,1 | 43,3 | 31,1 | 48,2 | 39,2 | 27,6 |
|
| 14,4 | 2,5 | -31,7 | -11,6 | 9,3 | -11,3 | 12,9 | 0,7 | -2,1 | 4,8 | 5,8 | 6,4 |
|
| 1,06 | 0,18 | -2,34 | -0,86 | 0,68 | -0,84 | 0,95 | 0,05 | -0,16 | 0,36 | 0,43 | 0,47 |
Имеются ли подозрительные наблюдения, которые могут быть аномальными по отношению к другим наблюдениям, если табличное значение t ‑критерия Стьюдента на уровне значимости a=0,05 составляет 2,228?
Ответ:
а) Подозрительных наблюдений нет.
б) Имеется подозрительное наблюдение среди предприятий 1 — 4.
в) Имеется подозрительное наблюдение среди предприятий 5 — 8.
г) Имеется подозрительное наблюдение среди предприятий 9 — 12.
Вопрос 3.22
На машиностроительном предприятии исследуется зависимость среднемесячной заработной платы токаря-универсала (переменная Y, руб.) от стажа работы по профессии (переменная X, лет). Имеется информация по десяти рабочим:
| Рабочий | ||||||||||
| X | 12,3 | 10,1 | 7,8 | 9,6 | 4,6 | 6,4 | 16,2 | 18,3 | 14,2 | 11,1 |
| Y |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,537).
Кроме того, были определены остатки регрессии (i =1, 2, …, 10):
| Рабочий | ||||||||||
| ei | 674,4 | 2086,4 | -925,8 | -1803,7 | 470,0 | 549,1 | 13,2 | -1112,0 | 2932,7 | -2884,3 |
и рассчитано среднее квадратическое отклонение ряда остатков Se:
руб.
Проверить статистическую гипотезу о нормальном законе распределения остатков по R / S ‑критерию, если его нижняя и верхняя критические границы на уровне значимости a=0,05 составляют соответственно (R / S)1=2,67 и (R / S)2=3,69.
Ответ:
а) Статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется.
б) Статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков отклоняется.
в) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть статистическую гипотезу о нормальном законе распределения остатков.
Вопрос 3.23
По восьми универсальным магазинам исследуется зависимость годового торгового оборота (переменная Y, млн. руб.) от размера торговых площадей (переменная X, м2):
| Магазин | ||||||||
| X | ||||||||
| Y | 228,1 | 205,3 | 105,0 | 132,6 | 306,4 | 205,2 | 329,8 | 262,2 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,621).
Кроме того, были определены остатки регрессии (i =1, 2, …, 8):
| Магазин | ||||||||
| ei | -19,1 | 31,8 | -64,6 | -64,8 | -16,5 | 48,1 | 32,8 | 52,3 |
и рассчитано среднее квадратическое отклонение ряда остатков Se:
млн. руб.
Проверить статистическую гипотезу о нормальном законе распределения остатков по R / S ‑критерию, если его нижняя и верхняя критические границы на уровне значимости a=0,05 составляют соответственно (R / S)1=2,50 и (R / S)2=3,40.
Ответ:
а) Статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется.
б) Статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков отклоняется.
в) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть статистическую гипотезу о нормальном законе распределения остатков.
