· обусловленная регрессией — SS рег=6 814 678;
· остаточная — SS ост=1 480 862;
· общая — SS общ=8 295 540.
Какая доля вариации месячного объема реализованной продукции объясняется вариацией затрат на рекламу в предыдущем месяце?
Ответ:
а) 17,9 %.
б) 21,7 %.
в) 43,5 %.
г) 82,1 %.
д) 92,1 %.
Вопрос 3.3
По кондитерскому предприятию изучается зависимость месячного объема реализованной продукции (переменная Y, тыс. руб.) от затрат в предыдущем месяце на теле- и радиорекламу (соответственно переменные X 1 и X 2, тыс. руб.). Имеются данные за двенадцать месяцев одного года:
| Месяц | Y | X 1 | X 2 |
| январь | |||
| февраль | |||
| март | |||
| апрель | |||
| май | |||
| июнь | |||
| июль | |||
| август | |||
| сентябрь | |||
| октябрь | |||
| ноябрь | |||
| декабрь |
Было получено уравнение линейной регрессии
.
Расчетное значение F -статистики Фишера уравнения составляет F =7,75.
Проверить статистическую значимость уравнения регрессии на уровне значимости a=0,01, выбрав правильное значение F ‑критерия Фишера F таб из таблицы:
| a=0,01 | |||
| df 1 df 2 | |||
| 10,56 | 8,02 | 6,99 | |
| 10,04 | 7,56 | 6,55 | |
| 9,65 | 7,21 | 6,22 | |
| 9,33 | 6,93 | 5,95 |
Ответ:
а) F таб=9,65; уравнение статистически незначимое.
б) F таб=9,33; уравнение статистически незначимое.
в) F таб=8,02; уравнение статистически незначимое.
г) F таб=6,93; уравнение статистически значимое.
д) F таб=6,55; уравнение статистически значимое.
е) F таб=6,22; уравнение статистически значимое.
Вопрос 3.4
По десяти строительным предприятиям региона имеются данные, характеризующие зависимость годовой прибыли (Y, млн. руб.) от среднегодовой стоимости основных фондов (X 1, млн. руб.), среднегодовой стоимости оборотных средств (X 2, млн. руб.) и среднегодовой списочной численности работников (X 3, чел.):
| № предприятия | Y | X 1 | X 2 | X 3 |
| 4,6 | 4,9 | |||
| 4,8 | 5,6 | |||
| 5,5 | 5,9 | |||
| 4,1 | ||||
| 4,8 | 5,5 | |||
| 4,7 | 5,1 | |||
| 4,7 | 4,6 | |||
| 5,1 | 5,7 | |||
| 5,4 | ||||
| 4,5 | 5,1 |
Было получено уравнение линейной регрессии и определены стандартные ошибки коэффициентов уравнения (приводятся в скобках):
| ||||
| (0,652) | (0,008) | (0,115) | (0,0055) |
Проверить статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии по t -критерию Стьюдента на уровне значимости a=0,05, если табличное значение t ‑критерия составляет t таб=2,447.
Ответ:
а) Все коэффициенты статистически незначимы.
б) Все коэффициенты статистически значимы.
в) Значимы только свободный член и коэффициент при факторе X 2.
г) Значимы только коэффициенты при факторах X 1 и X 2.
д) Значимы только коэффициенты при факторах X 1 и X 3.
Вопрос 3.5
По десяти мелкооптовым складам имеются данные, характеризующие зависимость годового торгового оборота (Y, млн. руб.) от площади складских помещений (X 1, м2) и численности работников (X 2, чел.):
| № склада | Y | X 1 | X 2 |
| 15,4 | |||
| 8,0 | |||
| 5,0 | |||
| 4,8 | |||
| 23,2 | |||
| 15,2 | |||
| 6,6 | |||
| 9,6 | |||
| 7,0 | |||
| 17,6 | |||
| Среднее | 11,24 | 346,5 | 7,8 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной регрессии
.
Определить средние коэффициенты эластичности факторов X 1 и X 2.
Ответ:
а) 0,53 и 0,53.
б) 0,06 и 4,88.
в) 0,30 и 0,29.
г) 1,28 и 1,80.
д) 0,71 и 1,00.
Вопрос 3.6
По одиннадцати металлообрабатывающим цехам машиностроительного предприятия изучается зависимость фактических затрат на 1 рубль валовой продукции (Y, руб.) от среднего уровня производительности труда X 1 (отношение объема продукции в денежном выражении к затратам труда на ее изготовление, руб./чел.‑ч) и средней энергоотдачи X 2 (отношение объема продукции в денежном выражении к затратам электроэнергии на ее изготовление, руб./кВт‑ч). Имеются квартальные данные:
| № цеха | Y | X 1 | X 2 |
| 0,38 | |||
| 0,53 | |||
| 0,49 | |||
| 0,35 | |||
| 0,23 | |||
| 0,52 | |||
| 0,44 | |||
| 0,34 | |||
| 0,42 | |||
| 0,48 | |||
| 0,53 | |||
| Среднее | 0,428 | 447,5 | 45,6 |
| Стандартное отклонение | 0,096 | 147,4 | 17,1 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной регрессии
.
Определить бета–коэффициенты факторов X 1 и X 2.
Ответ:
а) (–0,62) и (–0,47).
б) (–0,42) и (–0,28).
в) (–1,89) и (–1,26).
г) (–0,14) и (–0,11).
д) (–0,18) и (–0,12).
Вопрос 3.7
По тринадцати коммерческим банкам города имеются данные, характеризующие зависимость годовой прибыли (Y, млн. руб.) от общей суммы привлеченных средств (X 1, млн. руб.) и средней годовой ставки по краткосрочным кредитам (X 2, % годовых):
| № банка | Y | X 1 | X 2 |
| 10,5 | 18,3 | ||
| 7,3 | 17,9 | ||
| 8,9 | 18,1 | ||
| 8,2 | 17,4 | ||
| 11,8 | 16,5 | ||
| 20,3 | 17,4 | ||
| 20,0 | 14,2 | ||
| 24,3 | 14,6 | ||
| 12,8 | 16,8 | ||
| 14,9 | 17,3 | ||
| 16,4 | 15,8 | ||
| 24,6 | 14,3 | ||
| 14,1 | 13,9 |
Матрица парных коэффициентов корреляции между переменными имеет вид:
| Y | X 1 | X 2 | |
| Y | |||
| X 1 | 0,731 | ||
| X 2 | -0,708 | -0,433 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной регрессии
.
Множественный коэффициент детерминации R 2 линейной модели имеет значение 0,723; бета–коэффициенты факторов X 1 и X 2 соответственно равны 0,522 и (–0,482).
Оценить доли вклада факторов X 1 и X 2 в их суммарном влиянии на годовую прибыль через дельта–коэффициенты.
Ответ:
а) 0,821 и 1,931.
б) 0,528 и 0,472.
в) 0,392 и 0,618.
г) 0,298 и 0,702.
д) 0,599 и 0,401.
Вопрос 3.8
Имеются данные о некоторых характеристиках кредитных нот CLN (Credit Linked Notes), выпущенных по займам тринадцати компаний:
| Компания | Ставка купона (Y, % годовых) | Сумма займа (X1, млн. долл. США) | Дата размещения | Дата погашения | Срок обращения (X2, дней) |
| 1. А | 11,25 | 15.11.2002 | 15.11.2004 | ||
| 2. Б | 10,75 | 05.02.2003 | 05.02.2004 | ||
| 3. В | 12.09.2003 | 13.03.2004 | |||
| 4. Г | 8,875 | 27.02.2004 | 09.03.2006 | ||
| 5. Д | 9,5 | 12.03.2004 | 16.03.2006 | ||
| 6. Е | 11,5 | 24.03.2004 | 29.03.2005 | ||
| 7. Ж | 8,875 | 29.03.2004 | 11.04.2007 | ||
| 8. З | 8,75 | 30.04.2004 | 12.05.2008 | ||
| 9. И | 7,75 | 08.12.2004 | 01.06.2006 | ||
| 10. К | 9,25 | 15.08.2004 | 15.08.2007 | ||
| 11. Л | 11,75 | 20.09.2004 | 22.09.2005 | ||
| 12. М | 24.09.2004 | 03.04.2006 | |||
| 13. Н | 12,75 | 23.12.2004 | 23.12.2005 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной регрессии зависимости ставки купона Y от суммы займа X 1 и срока обращенияCLN X 2:
.
Определить прогнозное значение (точечный прогноз) годовой ставки купона CLN при сумме займа 120 млн. долл. США и сроке обращения 640 дней.
Ответ:
а) 11,36 %.
б) 11,44 %.
в) 3,16 %.
г) 16,14 %.
д) 9,82 %.
Вопрос 3.9
На рисунках приведены графики зависимости остатков линейных парных регрессий Y по X от значений факторного признака X (регрессионные модели построены по пространственным данным):
| 
|
| Рис. 1 | Рис. 2 |
| 
|
| Рис. 3 | Рис. 4 |
На каком из рисунков приведен график остатков с ярко выраженной гетероскедастичностью?
Ответ:
а) На рис. 1.
б) На рис. 2.
в) На рис. 3.
г) На рис. 4.
Вопрос 3.10
По четырнадцати филиалам страховой компании исследуется зависимость годового объема страховых взносов (переменная Y, млн. руб.) от штатной численности страховых агентов (переменная X, чел.). Имеются данные, упорядоченные по мере возрастания значений факторного признака X:
| Филиал | ||||||||||||||
| X | ||||||||||||||
| Y | 11,6 | 14,0 | 10,3 | 11,2 | 14,3 | 12,2 | 14,7 | 14,3 | 18,4 | 13,7 | 12,2 | 17,6 | 18,9 | 19,1 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,559).
Возникло предположение, что остатки регрессии имеют неодинаковую дисперсию. Для обнаружения гетероскедастичности использовался метод Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений регрессионной модели от фактора X. Для этого был рассчитан коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков 
и значениями xi (i =1, 2, …, n), который оказался равным 
.
Проверить статистическую гипотезу об одинаковой дисперсии остатков, если критическое значение коэффициента корреляции на уровне значимости a=0,05 составляет 0,532.
Ответ:
а) Гипотеза не отклоняется.
б) Гипотеза отклоняется. Б о льшая дисперсия остатков соответствует филиалам с б о льшей штатной численностью страховых агентов.
в) Гипотеза отклоняется. Б о льшая дисперсия остатков соответствует филиалам с меньшей штатной численностью страховых агентов.
г) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу.
Вопрос 3.11
Исследуется зависимость годового дохода транспортной компании (переменная Y, млн. руб.) от среднегодового количества грузовых автомобилей (переменная X, шт.). Имеются данные по двенадцати компаниям, упорядоченные по мере возрастания значений факторного признака X:
| Компания | ||||||||||||
| X | 31,5 | 37,8 | 46,2 | 56,7 | 58,8 | 65,1 | 71,4 | 77,7 | 84,0 | 94,5 | 100,8 | 102,7 |
| Y |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,693).
Возникло предположение, что остатки регрессии имеют неодинаковую дисперсию. Для обнаружения гетероскедастичности использовался метод Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений регрессионной модели от фактора X. Для этого был рассчитан коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков и значениями xi (i =1, 2, …, n), который оказался равным 
.
Проверить статистическую гипотезу об одинаковой дисперсии остатков, если критическое значение коэффициента корреляции на уровне значимости a=0,05 составляет 0,576.
Ответ:
а) Гипотеза не отклоняется.
б) Гипотеза отклоняется. Б о льшая дисперсия остатков соответствует филиалам с б о льшей штатной численностью страховых агентов.
в) Гипотеза отклоняется. Б о льшая дисперсия остатков соответствует филиалам с меньшей штатной численностью страховых агентов.
г) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу.
Вопрос 3.12
По тринадцати коммерческим банкам исследуется зависимость средневзвешенной ставки по депозитам физических лиц (переменная Y, % годовых) от среднегодового размера собственных средств банка (переменная X, млн. руб.). Имеются данные, упорядоченные по мере возрастания значений факторного признака X:
| Банк | |||||||||||||
| X | 88,2 | 121,3 | 132,6 | 133,9 | 176,5 | 187,0 | 198,2 | 220,0 | 231,4 | 242,6 | 275,2 | 275,9 | 278,3 |
| Y | 16,60 | 10,80 | 12,50 | 15,67 | 14,90 | 11,82 | 11,88 | 11,67 | 13,20 | 11,30 | 9,60 | 11,10 | 10,22 |
Было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,482).
Возникло предположение, что остатки регрессии имеют неодинаковую дисперсию. Для обнаружения гетероскедастичности использовался метод Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений регрессионной модели от фактора X. Для этого был рассчитан коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков и значениями xi (i =1, 2, …, n), который оказался равным 
.
Проверить статистическую гипотезу об одинаковой дисперсии остатков, если критическое значение коэффициента корреляции на уровне значимости a=0,05 составляет 0,553.
Ответ:
а) Гипотеза не отклоняется.
б) Гипотеза отклоняется. Б о льшая дисперсия остатков соответствует филиалам с б о льшей штатной численностью страховых агентов.
в) Гипотеза отклоняется. Б о льшая дисперсия остатков соответствует филиалам с меньшей штатной численностью страховых агентов.
г) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу.
Вопрос 3.13
На рисунках приведены графики временных рядов остатков линейных парных регрессий Y по X, построенных по временным рядам переменных:
| 
|
| Рис. 1 | Рис. 2 |
| 
|
| Рис. 3 | Рис. 4 |
На каком из рисунков приведен график остатков с ярко выраженной положительной автокорреляцией первого порядка?
Ответ:
а) На рис. 1.
б) На рис. 2.
в) На рис. 3.
г) На рис. 4.
Вопрос 3.14
На рисунках приведены графики временных рядов остатков линейных парных регрессий Y по X, построенных по временным рядам переменных:
| 
|
| Рис. 1 | Рис. 2 |
| 
|
| Рис. 3 | Рис. 4 |
На каком из рисунков приведен график остатков с ярко выраженной отрицательной автокорреляцией первого порядка?
Ответ:
а) На рис. 1.
б) На рис. 2.
в) На рис. 3.
г) На рис. 4.
Вопрос 3.15
Потенциальным инвестором изучается зависимость цены акции компании (переменная Y, руб.) от индекса фондового рынка (переменная X, пункты). Имеются временные ряды переменных за десять торговых дней:
| День | ||||||||||
| X | ||||||||||
| Y | 33,91 | 33,97 | 33,71 | 33,97 | 33,58 | 33,76 | 34,12 | 34,14 | 34,17 | 34,28 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,722).
Возникло предположение, что во временном ряду остатков регрессии присутствует автокорреляция первого порядка. Для ее выявления была рассчитана d ‑статистикаДарбина–Уотсона:
.
Проверить статистическую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, если нижняя и верхняя критические границы d ‑критерия на уровне значимости a=0,05 имеют соответственно значения d 1=0,88 и d 2=1,32.
Ответ:
а) Гипотеза не отклоняется.
б) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует положительная автокорреляция.
в) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует отрицательная автокорреляция.
г) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу (область неопределенности критерия Дарбина–Уотсона).
Вопрос 3.16
Аналитиком страховой компании исследуется зависимость месячной суммы страховых взносов по имущественному страхованию (переменная Y, млн. руб.) от затрат на рекламу в предыдущем месяце (переменная X,тыс. руб.). Имеются данные за двенадцать месяцев:
| Месяц | ||||||||||||
| X | ||||||||||||
| Y | 14,8 | 8,7 | 32,0 | 52,0 | 60,0 | 66,6 | 57,8 | 49,9 | 39,0 | 42,4 | 35,0 | 18,8 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
(коэффициент детерминации R 2=0,765).
Возникло предположение, что во временном ряду остатков регрессии присутствует автокорреляция первого порядка. Для ее выявления была рассчитана d ‑статистикаДарбина–Уотсона:
.
Проверить статистическую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, если нижняя и верхняя критические границы d ‑критерия на уровне значимости a=0,05 имеют соответственно значения d 1=0,97 и d 2=1,33.
Ответ:
а) Гипотеза не отклоняется.
б) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует положительная автокорреляция.
в) Гипотеза отклоняется. В остатках присутствует отрицательная автокорреляция.
г) Нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу (область неопределенности критерия Дарбина–Уотсона).
Вопрос 3.17
Аналитиками фондового рынка исследуется зависимость текущей цены акции нефтяной компании (переменная Y, руб.) от цены нефти марки Urals (Y, долл./баррель) по итогам торгов на Международной нефтяной бирже за предыдущий день (переменная X, долл./баррель). Имеется информация за одиннадцать торговых дней:
| День | |||||||||||
| X | 49,91 | 51,18 | 50,38 | 48,96 | 49,44 | 49,54 | 50,53 | 48,42 | 48,91 | 49,81 | 50,78 |
| Y | 156,4 | 155,1 | 157,6 | 145,7 | 156,0 | 149,0 | 153,4 | 148,4 | 142,3 | 155,1 | 155,1 |
Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной парной регрессии Y по X:
