Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона. Аппроксимация. Счётная устойчивость. Алгоритм решения

Уравнение Пуасона описывает з-чи электростатики, теории упругости. -задача Дирихле для уравнение Пуасона. Рассмотрим задачу Дирихле для однородного уравнения Пуасона f(x)-некоторая ф-я источников погрешностей.

Если f - непрерывная на отрезке [0;1] функция и имеет непрерывные до 2 го порядка включительно производные, то существует единственное решение и оно .Для построения разностной схемы разобъем отрезок точками с постоянным шагом h=1/N. Введем разностный оператор A который во внутренних точках сетки задается выражением

Используя разнотную схему уравнение запишется в виде.

Если из предыдущ ур-нияя исключить граничные точки подстав. вместо них их значения, то получим сис-му. . Она имеет трехдиагональный вид. Решить ее можно методом 3-х диаг прогонки. Нетрудно установить что выполнение условия гарантирует устойчивость системы, а также и аппроксимацию.

Алгоритм решения: Аппроксимация: рассмотрим задачу в операторной форме (1). Наряду с (1) рассмотрим конечноразностную з-чу (2) где Ah-лин. конечноразностный оператор, зависящий от шага сетки h Будем говорить что задача (2) аппроксимирует задачу (1) с порядком h, на решении если существует полож. константы M1 что выполняется неравенство Если φ(x)єС⁴[0,1] то использ разлож в ряды Тейлора получим тогда получим

Это разн схема 2-ого пор аппроксимации.

Теорема: Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области имеет единственное решение. Разн схема устойчив а если решении разн уравений непрерывно зависит от входных данных Рассмотр п-п максимума. Запишем схему в виде : 1. Схема равномерно устойчива по нач начальным данным если: 2. Устойчива по правой части, если . Наша схема(я в этом не совсем уверена) - выполн всегда -> безусловно устойчива

 

46. Одномерная задача Неймана. Аппроксимация, счётная устойчивость. Алгоритм решения.

- задача Неймана. Условие - является необходимым условием разрешимости задачи. Для получения разностной схемы второго прядка апроксиммации решения задачи удобно продолжить сетку на одну точку вправо и влево от области определения, при условии достаточной гладкости искомой ф-и.

Будет иметь дело со след сеткой x_k =kh k = -1,0, 1 … N+1., h=1/N.В результате получим следующую разностную схему соответствующую задаче При такой апроксиммации можно использовать метод прогонки.Попытаемся исключить граничные условия. Разрешим граничные условия относительно и . Получим . Исключаем их потому что они являются заведомо ненужными членами в решении. Полученные значения подставим в разност у-ния. Получим:

Система имеет трехдиагональный вид. Решить ее можно методом 3-х диаг прогонки. Нетрудно установить что выполнение условия гарантирует устойчивость системы, а также и аппроксимацию.

Если φ(x)єС⁴[0,1] то использ разлож в ряды Тейлора получим тогда получим

Это разн схема 2-ого пор аппроксимации.

Теорема: Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области имеет единственное решение. Разн схема устойчив а если решении разн уравений непрерывно зависит от входных данных Рассмотр п-п максимума. Запишем схему в виде : 1. Схема равномерно устойчива по нач начальным данным если: 2. Устойчива по правой части, если . Наша схема(я в этом не совсем уверена) - выполн всегда -> безусловно устойчива

47.Электр-ий ток в полупроводниках.Электронно-дырочный переход и его св-ва. В атоме вещ-ва орбиты электронов группируются в электрон.оболочки.Эл-ны, вращающиеся вокруг ядра,стремятся занять оболочки,располож.наиболее близко к ядру,т.к.в равновесном состоянии суммарная энергия всех эл-нов д.б.мин-ой. Т.о.вокруг ядра образ-ся плотная«упаковка»из эл-нов,причем эл-ны внеш.оболочек связаны с атомным ядром значительно слабее,чем те,кот.находятся на внутрен. оболочках.Поэтому связи м/д атомами в в-ве образ-ся за счет эл-нов внеш. оболочек.При дополнительной энергии эл-ны внеш.оболочки теряют жесткую связь с определенным атомом и начинают свободно перемещаться в объеме.Они-свободные носители заряда.Свободная зона,на уровнях кот.при возбуждении могут находиться эл-ны,наз. зоной проводимости. Зона,ближайшая к зоне проводимости,наз. валентной. При изменении температуры происходит обмен между валентной зоной и зоной проводимости.В полупроводниковой технике используют 4-хвалентные германий и кремний-в-ва кристаллической структуры с ковалентными межатомными связями,при кот.каждый атом связан с соседними посредством 8-ми обобщенных эл-ов.Такая связь устойчива,но при разрывах ковалентных связей в полупроводнике появляются свободные носители заряда-эл-ны и дырки,кот.совершают хаотическое (тепловое)движ-е в кристалле.Появление дырок в полупроводнике и их перемещение в нем связаны с возбуждением валентных эл-ов,когда в результате поглощения энергии один из валентных эл-нов освобождается от связи с атомом,становясь подвижным носителем заряда.Процесс возникновения свободных носителей заряда- генерация. В процессе хаотического движ-я носители могут заполнять освободившиеся ранее связи,тогда происходит исчезновение 2-х носителей заряда-эл-на и дырки,их рекомбинация. В идеальном полупроводниковом кристалле эл-кий ток создается движ-ем равного кол-ва отрицательно заряженных эл-ов и положительно заряженных дырок-собственная проводимость полупроводника.Атомы примеси элемента V группы периодической системы Менделеева наз. донорами. Полупроводник с донорной примесью наз. электронным,или полупроводником п-типа. Полупроводники n- и р-типа наз. примесными,или легированными. Носители заряда,однотипные с примесным полупроводником,наз. основными,а неоднотипные- неосновными. В полупроводнике n-типа основными носителями явл-ся эл-ны,а неосновными-дырки,а в р-полупроводнике,наоборот.ПЕРЕХОД:В каждом полупроводнике подвижные носители заряда(эл-ны и дырки)совершают хаотическое движ-е,обусловленное их тепловой энергией.Неподвижные положительные и отрицательные примесные ионы обозначены знаками«+»и«-» соответственно,а дырки и эле-ны-теми же знаками в кружках.Оба образца нейтральны,т.е.подвижные и неподвижные заряды в них взаимно скомпенсированы.После приведения полупроводников в соприкосновение из-за значительного различия в концентрациях подвижных носителей заряда будет происходить диффузия эл-ов из n-области в р-область и дырок из р-области в n-область,т.е.наблюдаться диффузионный ток. Св-ва p-n-перехода: если к р-n-переходу приложено напряжение знаком+на обл.с эл-ной проводимостью,то эл-ны в n-полупроводнике и дырки в р-полупроводнике удаляются внеш.полем от запирающего слоя в разные стороны,увеличивая его толщину.Сопрот-ние р-n-перехода велико,сила тока мала и не зависит от напряжения.Этот способ включения диода наз. включением в запирающем или в обратном направлении. Обратный ток полупроводникового диода обусловлен собственной проводимостью полупроводниковых материалов,из кот.изготовлен диод,т.е.наличием небольшой концентрации свободных эл-нов в р-полупроводнике и дырок в n-полупроводнике.Если к р-n-переходу приложено напряжение знаком«+»на обл.с дырочной проводимостью и знаком«-»на обл.с электрон.проводимостью,то переходы основных носителей ч/з р-n-переход облегчаются.Двигаясь навстречу друг другу, основные носители входят в запирающий слой,уменьшют его удельное сопротивление.Сила тока ч/з диод ограничивается лишь сопротивлением внешней электр-ой цепи.Этот способ наз. включением в пропускном или в прямом направлении.

48. Особенности представления вещ-ых чисел на ЭВМ. Стандарт IEEE 754. Представление дробей, при к-ром положение двоичной запятой задается неявно в опред-ом месте машинного слова, наз. представлением с фиксированной запятой. Неудобство такого представления проявляется при реш-ии з-ч с величинами, кот. могут сильно изменяться в сторону как очень малых, так и очень больших чисел(Пр. , ). Выход из затруднения сост. в отказе от фиксир. располож. запятой. Если разрешить запятой «плавать» во всех числах, то для вып-я операций над ними в записи каждого числа должна быть инф-ия о месте располо­жения запятой. В тех случаях, когда эта инф-ия выражена в записи чисел явным образом, говорят о представлении чисел с плавающей запятой. Наиболее удобно, если инф-ия о положении запятой задается в экспоненциальной форме записи, т.е. число записыв. в виде произведения дроби со знаком (мантиссы) и основания сис-мы счисления, возведенного в степень с нек-рым показателем (порядком). Пр. или . Следует отметить ряд особенностей представления вещ-ых чисел в ЭВМ: 1) обл-ть знач-ий опред-ся по числу разрядов в экспоненте, а точность опред-тся по числу разрядов в мантиссе. Станд.форма записи: мантиссу записывают в виде правильной дроби, у кот. первая же цифра после запятой- значащая. Так , а . Такая форма экспоненциальной записи называется нормализованной. Изображение двоичного числа сост.: знаковый бит мантиссы, мантисса, порядок. Положение двоичной запятой в мантиссе неявно фиксируется слева от ее первой цифры. 2) Умножение -разрядных мантисс проще всего вып-ть в виде кратного цикла из операций сдвига и сложения с определением знака рез-та по хорошо изв. пра­вилу знаков (для умножения и деления). Именно по этой причине мантиссу удобнее представлять не в дополнительном коде, а в представлении «знак-величина». 3) при вып. сложения и вычитания основную сложность составл.не собственно эти действия, а процедуры выравнивания. Как и в «ручных» опер-ях над числами в экспоненциальном представлении в первую очередь необх. произвести сравнение порядков. Если они различны, то мантисса операнда с меньшим порядком сдвигается вправо, а порядок увеличивается. Выравнивание произв. до тех пор, пока порядки обоих операндов не сравняются. После этого произв. сложение или вычитание мантисс. Рассм. пример, в кот. для хранения числа исп. 1 байт. Условимся считать старший бит знаковым. Далее разделим оставшиеся биты байта на две группы, или поля, а именно: поле порядка числа и поле мантиссы. Следующие 3 бита после знакового бита будем считать полем порядка числа, а оставшиеся 4 бита полем мантисы, т.е.

Пр1. Пусть байт сод. битовую комбинацию 01101011. При разложении этой комбинации по элементам описанного выше формата получим: знаковый бит =0, поле порядка числа= 110, а поле мантиссы = 1011. Для расшифровки представленного в этом байте знач-я, выделим мантиссу и поместим плавающую точку слева от нее:.1011 Далее выделим знач-е в поле порядка числа (110)и интерпретируем его как целое трехразрядное число, записанное в двоичной нотации с избытком 4. Т.о., в поле порядка числа закодировано целое число 2. Это означает, что плавающую точку в получ. ранее знач-ии след. переместить на 2 бита вправо (при отрицательном порядке перемещ. влево), после чего будет получ. окончательный результат: 10,11. Это знач-е явл. двоичным представлением числа 2³/₄. Наконец, определяем, что представляемое число явл. положительным, т.к. знаковый бит им. значение 0.В итоге мы показали, что битовая комбинация 01101011 в двоичной нотации с плавающей точкой представл. число 2³/₄. Особенности арифметики чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей точкой можно исп. для моделирования сис-мы действит. чисел в матем-ке, хотя есть нек-ые различия чисел с плавающей запятой от действит. чисел:

На рисунке представлена ось действит. чисел, для представления кот. исп.1 байт

1-ое отличие: числа с плавающей точкой нельзя исп. для записи чисел из областей 1, 3, 5 и 7. Если в рез-те арифметич. операции получ. число из области 1 или 7, то произойдет ошибкапереполнения и рез-т будет неверным. Причина – ограничение обл. знач-й чисел в данном представлении. Точно так же нельзя выразить рез-т из области 3 или 5- ошибка из-за потери значимости. 2-ое отличие: их плотность. Между любыми 2 действит. числами х и у существует другое действит. число незав. от того, насколько близко к у расположен х. Действит. числа формируют континуум. Числа с плавающей точкой –нет. В рассм. выше сис-ме представления можно выразить лишь конечное кол-во действит. чисел. Если полученное число нельзя выразить в используемой сис-ме представления, нужно брать ближайшее число, кот. представимо в этой системе. Такой процесс наз округлением.

В конце 70-х годов был принят стандарт IEEE 754 представления чисел с плавающей запятой(ранее каждый производитель им. свой собственный формат). Стандарт определяет 3 формата: с одинарной точностью (32 бита), с удвоенной точностью (64 бита) и с повышенной точностью (80 битов). Традиционные проблемы, связ. с числами с плавающей точкой, – что делать с переполнением, потерей значимости и неинициализированными числами. Проблема возникает в том случае, если абсолютное значение (модуль) рез-та < самого маленького нормализованного числа с плавающей точкой, кот. можно представить в этой сис-ме. Раньше аппаратное обеспечение действовало одним из двух способов: либо устанавливало рез-т на 0, либо вызывало ошибку из-за потери значимости. Ни один из этих двух способов не является приемлемым, поэтому в стандарт IEEE 754 введены ненормализованные числа.

49. Средства представление вспомогательного алгоритма Существуют следующие формы представления алгоритма:

• словесная (текстуальная) (для достаточно сложных алгоритмов описание становится слишком громоздким и ненаглядным, вследствие этого такая форма представления обычно используется лишь на начальных стадиях разработки алгоритма);

• графическая (форма представления алгоритмов является более компактной и наглядной: алгоритм изображается в виде последовательности связанных между собой блоков (символов), каждый из которых соответствует выполнению одного или нескольких операторов, такое графическое представление называется блок-схемой алгоритма);

• на языках программирования (алгоритм, записанный на языке программирования, называется программой).

Существующие способы записи алгоритмов отличаются друг от друга наглядностью, компактностью, степенью формализации и другими показателями. Наибольшее распространение получили графический способ и так называемый алгоритмический язык записи алгоритмов, ориентированный на человека (псевдокоды).

Схема алгоритма представляет собой последовательность блоков, предписывающих выполнение определенных действий, и связи между ними.

Выделение составных частей алгоритма должно определяться внутренней логикой процесса вычислений.

Схема алгоритма может выполняться с разной степенью детализации. Схема, в которой определены ввод и вывод информации и учитываются особенности языка программирования, называется схемой программы.

Запись алгоритма на алгоритмическом языке, ориентированном на человека, выполняется с помощью служебных слов и команд, которые записываются в сокращенном виде и подчеркиваются. Запись начинается со служебного слова «алгоритм»

(АЛГ), за которым записывается его краткое название и определяются типы используемых величин. Далее перечисляются

«аргументы» (АРГ) и «результаты» (РЕЗ). Команды, определяющие действия, записываются между служебными словами

«начало» (НАЧ) и «конец» (КОН). Команды управления ходом вычислений начинаются служебными словами: ЕСЛИ, ТО, ИНАЧЕ, ЦК (цикл), КЦ (конец цикла), ПОКА. Команды друг от друга отделяются точкой с запятой.

Общий вид записи алгоритма на алгоритмическом языке выглядит следующим образом:

АЛГ название алгоритма;

АРГ...; РЕЗ...;

НАЧ Последовательность команд КОН Команда разветвления, содержащая условие, имеет следующий вид записи:

ЕСЛИ условие ТО последовательность команд ИНАЧЕ последовательность команд ВСЕ Команда цикла имеет следующий вид:

ПОКА условие НЦ Последовательность команд КЦ Объектами действий в алгоритмах являются числа, простые переменные и переменные с индексами (элементы массивов).

Массив – упорядоченная последовательность значений, имеющих одно имя.

В процессе решения простая переменная может изменять свои значения, но в каждый момент времени известно (хранится в памяти ЭВМ) только одно «текущее» значение. Простую переменную обозначают ее символическим именем (идентификатором). Элемент массива (переменная с индексом) состоит из имени и индексов, указывающих на расположение элемента в массиве.

Графическая запись алгоритма должна выполняться в соответствии с государственными стандартами (ГОСТ 19.701–96

«Государственный стандарт единой системы программной документации»).

Некоторые часто используемые условные графические обозначения символов, используемых для составления блок- схемы алгоритма, обозначения приведены в табл. 3.2.1.

Отдельные блоки алгоритмов (символы) соединяются между собой линиями потоков информации, которые проводятся параллельно внешней рамке чертежа. Направления линий потока сверху вниз и слева направо принимаются за основные и, если линии потоков не имеют изломов, стрелками не обозначаются.

Этап вычисления (процесс) изображается прямоугольником, внутри которого записывается содержание этого этапа.

Проверка условия (альтернатива) изображается ромбом. Ввод исходных данных и вывод результатов изображается параллелограммами, внутри которых пишутся слова «ввод» или «вывод» и перечисляются переменные, подлежащие вводу или выводу.

Ниже приведена блок-схема алгоритма решения квадратного уравнения ах + bх2 + с = 0.

 

Представление алгоритма в виде блок-схемы является промежуточным, так как алгоритм в таком виде не может быть

непосредственно выполнен ЭВМ. Составление блок-схемы алгоритма является важным и в большинстве случаев

необходимым этапом решения задачи на ЭВМ, значительно облегчающим процесс составления программ.

50 Модульное пр-ние – это организация программы как совокупности независимых блоков, называемых модулями. Модульное программирование предназначено для разработки больших программ. Разработкой больших программ занимается коллектив программистов. Каждому программисту поручается разработка некоторой самостоятельной части программы. И он в таком случае отвечает за конструирование всех необходимых процедур и данных для этих процедур. Запрет доступа к данным из-за пределов модуля предотвращает их случайное изменение и соответственно нарушение работы программы. Для взаимодействия отдельных частей программы коллективу программистов необходимо продумать только интерфейс (взаимодействие) сконструированных модулей в основной программе. Плюсы: 1.Модульные программы легко составлять и отлаживать. Функциональные компоненты такой программы могут быть написаны и отлажены порознь.2. Модульную программу легче сопровождать и модифицировать(заменены без изменений в остальных частях). Модуль – это автономно компилируемая программная единица, включающая в себя различные компоненты раздела описаний. Использование модулей – прекрасный инструмент для разработки библиотек прикладных программ и мощное средство модульного программирования. Модуль характеризуют: 1.один вход и один выход (на входе программный модуль получает определенный набор исходных данных, выполняет содержательную обработку и возвращает один набор результатных данных) 2.функциональная завершенность (модуль выполняет перечень регламентированных операций для реализации каждой отдельной функции в полном составе) 3.логическая независимость (результат работы программного модуля зависит только от исходных данных, но не зависит от работы других модулей) 4.слабые информационные связи с другими программными модулями. 5.Реализуемые решения должны быть простыми и ясными. Если назначение модуля непонятно, то необходимо еще раз проанализировать задачу и, возможно, провести дополнительное разбиение на подзадачи. При наличии сложных мест в проекте их нужно подробнее документировать с помощью продуманной системы комментариев. Этот процесс нужно продолжать до тех пор, пока вы действительно не добьетесь ясного понимания назначения всех модулей задачи и их оптимального сочетания. Все ресурсы модуля делятся на две группы: внешние – предназначенные для использования другими программными единицами, и вн утренние – рабочие ресурсы данного модуля. Структура модуля выглядит следующим образом:). Unit <имя модуля> Interface <интерфейсная секция> Implementation <секция реализации> Begin <секция инициализации> End

Имя модуля должно совпадать с именем файла, в котором он содержится. Результат компиляции модуля помещается в файл с тем же именем и расширением.tpu. Секция реализации содержит описание подпрограмм, объявленных в интерфейсной секции, и описание внутренних ресурсов модуля (локальных переменных, типов, подпрограмм). Обращение к этим ресурсам возможно только из подпрограмм, описанных в том же модуле. Секция инициализации содержит операторы, которые выполняют следующие действия, необходимые для нормальной работы процедур модуля (например откр файла, иниц. переменных). Операторы секции инициализации выполняются один раз (при подключении модуля) до начала выполнения основной программы. Эта секция в модуле может отсутствовать.

Программа, которая использует ресурсы нескольких модулей, должна в области описаний содержать спецификацию используемых модулей: Uses <имя модуля 1>, <имя модуля 2>, В спецификации Uses необходимо указывать только те модули, ресурсы которых данная программная единица (программа или модуль) использует непосредственно. Если подключаемый модуль использует другие модули, то их подключение уже описано в нем. Секции инициализации подсоединяемых модулей выполняются в порядке их подключения. Вместе с системой программирования на Borland Pascal поставляются следующие библиотеки: System – основная библиотека – содержит описание всех стандартных процедур и функций, таких, как математические функции, функции преобразований. Graph – библиотека управления экраном в графическом режиме

Библиотека - сборник подпрограмм или объектов, используемых для разработкипрограммного обеспечения (ПО). библиотеки разделяются на динамические и статические. Динамическая -Часть основной программы, которая загружается в ОС по запросу работающей программы в ходе её выполнения. Один и тот же набор функций (подпрограмм) может быть использован сразу в нескольких работающих программах, из-за чего они имеют ещё одно название — библиотеки общего При написании программы программисту достаточно указать компилятору, что следует подключить нужную библиотеку и использовать функцию из неё. Ни исходный текст, ни исполняемый код функции в состав программы на данном этапе не входит.

Статическая -Могут быть в виде исходного текста, подключаемого программистом к своей программе на этапе написания, либо в виде объектных файлов, присоединяемых исполняемой программе на этапе компиляции (расширение.lib). В результате программа включает в себя все необходимые функции, что делает её автономной, но увеличивает размер.

 

51.Разработка приложений, поддерживающих графический интерфейс Ключевым средством взаимодействия пользователя с компьютером является графический пользовательский интерфейс (GUI) При работе с GUI пользователь имеет произвольный доступ (с помощью клавиатуры) ко всем видимым экранным объектам. Впервые графический интерфейс пользователя был реализован в операционных системах персональных компьютеров, но сейчас элементы GUI стали неотъемлемой частью даже простых приборов. Графический интерфейс пользователя - разновидность пользовательского интерфейса, в котором элементы интерфейса, представленные пользователю на дисплее, исполнены в виде графических изображений. В отличие от интерфейса командной строки, в ГИ пользователь имеет произвольный доступ (с помощью устройств ввода — клавиатуры, мыши, джойстика и т. п.) ко всем видимым экранным объектам (элементам интерфейса) и осуществляет непосредственное манипулирование ими. Чаще всего элементы интерфейса в ГИ реализованы на основе метафор и отображают их назначение и свойства, что облегчает понимание и освоение программ неподготовленными пользователями. Основная черта любой программы с графическим интерфейсом - интерактивность. Программа не просто что-то считает (в пакетном режиме) от начала своего запуска до конца: ее действия зависят от вмешательства пользователя. Фактически, графическое приложение выполняет бесконечный цикл обработки событий. Программа, реализующая графический интерфейс, событийно-ориентирована. Она ждет от интерфейса событий, которые и обрабатывает сообразно своему внутреннему состоянию. Эти события возникают в элементах графического интерфейса и обрабатываются прикрепленными к ним обработчиками.

Инструментарий для разработки пользовательского интерфейса, как правило, включает в себя библиотеку примитивов компонентов интерфейса (меню, кнопки, полосы прокрутки и др.) и предназначен для использования программистами. Специализированные средства для разработки интерфейса позволяют упростить разработку пользовательского интерфейса, предлагая разработчику специфицировать компоненты пользовательского интерфейса с использованием языков спецификаций.

Диалоговые окна могут содержать следующие элементы управления: закладки,Кнопка,Надпись,Поле ввода текста. Элементы могут быть видимыми и не видимыми: таймер, цветовая панель. Рассмотрим на примере кнопки. Кнопки являются элементами управления и служат для выдачи команд на выполнение определенных функциональных действий, поэтому часто их еще называют командными кнопками. На поверхности кнопки могут располагаться текст и/или графическое изображение.В системе современного графического интерфейса имеется возможность отслеживать различные события, связанные с клавиатурой и мышью, и происходящие на "территории" того или иного виджета: OnClick. Также компоненты имеют свойства: Простые свойства - это те, значения которых являются числами или строками. Например, свойства Left иTop принимают целые значения, определяющие положение левого верхнего угла компонента или формы. Свойства Caption и Name представляют собой строки и определяют заголовок и имя компонента или формы. Перечислимые свойства - это те, которые могут принимать значения из предопределенного набора (списка). Простейший пример - это свойство типа Boolean, которое может принимать значения True или False. Вложенные свойства - это те, которые поддерживают вложенные значения (или объекты). Наиболее распространенным примером такого свойства является свойство Style с вложенным множеством булевых значений. Некоторые свойства, например, Font, для изменения своих значений имеют возможность вызвать диалоговое окно.

 

52. Арифметические основы обработки информации. Электронные вычислительные машины выполняют арифметические и логические операции, при этом исп. 2 класса переменных: числа и логические переменные. Числа несут инф-цию о кол-ных характеристиках сис-мы; над ними производятся арифметические действия. Логические переменные определяют состояние сис-мы или принадлежность её к определённому классу состояний (коммутация каналов, управление работой ЭВМ по программе ит.п.).Логические переменные могут принимать только два значения: истина и ложь. В устройствах цифровой обработки инфо-ции этим двум значениям переменных ставится в соотв. два уровня напряжения: высокий— (логическая «1») и низкий — (логический «0»). Однако в эти значения не вкладывается смысл кол-ва.Эл-ты, осуществляющие простейшие операции над такими двоичными сигналами, наз. логическими. На основе логических элементов разрабатываются устройства, выполняющие и арифметические, и логические операции.

В настоящее время в обыденной жизни для кодирования числовой инф-ции исп. десятичная сис-ма счисления с основанием 10, в кот. исп. 10 эл-тов обозначения: числа 0, 1, 2, … 8, 9. В первом (младшем) разряде указывается число единиц, во втором — десятков, в третьем — сотен и т.д.; иными словами, в каждом следующем разряде вес разрядного коэффициента увеличивается в 10 раз.

В цифровых устройствах обработки инф-ции исп. двоичная сис-ма счисления с основанием 2, в кот. исп. два эл-та обозначения: 0 и 1. Веса разрядов слева направо от младших разрядов к старшим увеличиваются в 2 раза, т.е. им. такую послед-сть: 8421. В общем виде эта послед-сть имеет вид:…2⁵2⁴2³2²2¹2⁰,2^-12^-22^-3 и исп. для перевода двоичного числа в десятичное. Напр., двоичное число 101011 эквивалентно десятичному числу 43:2⁵·1+2⁴·0+2³·1+2²·0+2¹·1+2⁰·1=43

В цифровых устройствах исп. специальные термины для обозначения различных по объёму единиц инф-ции: бит, байт, килобайт, мегабайт и т.д. Бит или двоичный разряд определяет значение одного какого-либо знака в двоичном числе. Например, двоичное число 101 имеет три бита или три разряда. Крайний справа разряд, с наименьшим весом, называется младшим, а крайний слева, с наибольшим весом, — старшим. Байт определяет 8-разрядную единицу инф-цию, 1 байт=23 бит, напр., 10110011 или 01010111 и т.д., 1 кбайт = 2¹⁰ байт, 1 Мбайт = 2¹⁰ кбайт = 2²⁰ байт.

Для представления многоразрядных чисел в двоичной системе счисления требуется большое число двоичных разрядов. Запись облегчается, если использовать шестнадцатеричную систему счисления.

Основанием шестнадцатеричной системы счисления явл. число 16=2⁴, в кот.исп. 16 элементов обозначения: числа от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное достаточно двоичное число разделить на четырёхбитовые группы: целую часть справа налево, дробную — слева направо от запятой. Крайние группы могут быть неполными.

Каждая двоичная группа представляется соотв. шестнадцатеричным символом (таблица 1). Напр., двоичное число 0101110000111001 в шестнадцатеричной системе выражается числом 5C39.

Пользователю наиболее удобна десятичная сис-ма счисления. Поэтому многие цифровые устройства, работая с двоичными числами, осущ. приём и выдачу пользователю десятичных чисел. При этом применяется двоично-десятичный код.

Двоично-десятичный код образуется заменой каждой десятичной цифры числа четырёхразрядным двоичным представлением этой цифры в двоичном коде. Напр., число 15 представляется как 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). При этом в каждом байте располагаются две десятичные цифры. Заметим, что двоично-десятичный код при таком преобразовании не явл. двоичным числом, эквивалентным десятичному числу.