Задача Коши для дифференциального уравнения и для системы дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности решения. Случай линейных уравнений и систем. 2 страница

27.Гильбертово пр-во.Разлож-е эл-ов гильбертова пр-ва по ортонормир.сис-ам. Общий вид лин-го непрерыв. функционала в гильбертовом пр-ве. Опр. Пусть X-векторное пр-во над полем K(R,C).Ф-ия<*,*>:X X→K наз. скаляр.произведением на Х,если: 1. "хÎХ <x,x> ≥0, <x,x>=0 <=> x=0; 2. "х,yÎХ <x,y>=<y,x> 3. "х,yÎХ,"λÎR <λx,y>=λ<x,y>(однород.по 1-му арг-ту) 4. "х,y,zÎХ <x+y,z>=<x,z>+<y,z>(аддитив.по 1-му арг-ту). Пр. Х=Rⁿ:<x,y>=x₁*y₁+…+x_n*y_n. Утв1. Если<*,*>-скаляр.произв-е,то норма на Х(1. φ(λх)=|λ|φ(х), 2. φ(х+y)≤φ(х)+φ(y)) Опр. Сис-ма вект-ов наз. ортонормир-ой,если < l _k; l _m>=δ_km={1,k=m;0,k≠m.Сис-ма век-ов наз. ортонормир,если таковой явл. конечная подсис-ма для таковой сис-мы.Полное лин.нормированное пр-во наз. банаховым. Опр. Банахово пр-во Х с нормой||*||наз. гильбертовым пр-вом,если в нем для"f,gÎХ опр.скаляр.произвед.(f,g),уд.усл-ям: (f,g)=(g,f),(αf₁+βf₂,g)=α(f₁,g)+β(f₂,g)(аддитивность). Опр. Эл-ты x,y из гильбертова пр-ва Х наз. ортогональными,если<x,y>=0. Т. Пусть X–гильберт.пр-во(X,<,>), -ортонормир.сис-ма вект-ов в X,тогда: 1. справедл. нер-во Бесселя:∑_k=1^∞│c_k│²≤║x║², 2. ряды Фурье сх-ся к т-ке x X óвыполн.рав-во Парсеваля–Стеклова: ∑_k=1^∞│c_k│²=║x║²,где c_k-коэф.Фурье,ряд ∑_k=1^∞c_k l _k Фурье. Опр. Сис-ма вект-ов l _k наз.макс-ой в гильберт пр-ве X,если из усл.,что k N, <x, l _k>=0 x=0. Опр. Сис-ма век-ов l _k наз. полной в гильберт пр-ве X,если мн-во всех конечных лин-ых комбинаций век-ов этой сис-мы всюду плотно в гильберт пр-ве. Т. Пусть X гильберт.пр-во, -ортонормир.сис-ма,тогда эквивалентны утверждения: 1) данная сис-ма явл.базисом в X; 2) сис-ма максимальна; 3) справедлив.рав-во Парсеваля-Стеклова; 4) сис-ма явл.полной. Т.(Рисса) Пусть Х-гильбертово пр-во,f:X→R–линейный ограниченный ф-ал,тогда эл-т y из Х,что x X справедливо:(f,x)=<x,y>.

28.Приводим.и неприводим.мн-ны над полем хар-ки 0.Непривод-ть мн-нов над поле C,Q,R. Кольцо -непустое мн-во К эл-тов произвол.природы с опр.на нем бинарн.операц.+и*,если выполн.усл.:алгебра<К,+>-абелева группа,умнож.ассоциативн a,b,cÎK а(bc)=(ab)c,умнож дистрибутив.относ+,т.е.а(b+c)=ab+ac.А К[x](кольцо многочл.) - расшир К и содерж.перем. х,т.е.КÎК[x].Хар-ка кольца–наименьшее nÎN. Если не такого n, то хар-ка кольца=0.Мн-н f(x) из кольца P[x] наз приводимым над полем Р, если его можно представить в виде произведения 2-х мн-нов из кольца Р[х],каждый из кот.степени не ниже 1-й.Если такое представление не возможно,то f не приводим над Р. Св-ва неприводимых мн-в: 1) Если f/P,где f,PÎP[x] неприводимые,то f и P совпадают с точностью до постоянного множителя; 2) Пусть f– любой мн-енÎР[x], Р–неприводимый, тогда f/P или (f,P)=1(взаимно простые). 3) Если произведение мн-ов из кольца Р[x] делится на неприводимый мн-н,то хотябы 1 из сомножителей делится на Р. 4) Если произведение неприводимых мн-ов из кольца Р[x] делится на неприводимый мн-ен Р,то хотябы 1 из сомножителей совпадает с Р с точностью до постоянного мн-ля. Т. (о неприводимых мн-ах). Всякий мн-ен f(x) степени не ниже 1-ой из кольца Р[x] м.б.разложен в произведение неприводим.мн-ов из этого кольца,и это разлож-е ед-но с точностью до порядка следования сомножителей и до постоянного множителя. Д-во. М-д мат.индукции(n-степень многочлена). 1. n=1. Мн-н 1-й степени неприводим над полем, значит f можно разложить в произведение неприводим.мн-ов,но в этом произведении только 1 множитель,т.е. f=f. 2. Предположим теорема верна для всех мн-ов, степень кот.£n.Док-м для n+1. А) f степени n+1 не приводим над РÞон разложим в произведение неприводимых мн-ов, но в этом произведении только 1 множитель. Б) f степени n+1 приводим над РÞf=f₁*f₂, f_1,f₂ÎP[x],где deg(f₁)£n и deg(f₂)£n.Т.к.степени мн-ов f_1,f₂£n,то по индуктивному предположению для мн-ов f_1,f₂ верна теорема,т.е. f_1,f₂ м.б.представлены в виде произведения непривод-ых мн-ов.Док-м един-ть такого разлож-я.Предполож. противное:кроме разложения f=p₁p₂…p_s существует f=q₁q₂…q_s+m.; p₁p₂…p_s=q₁q₂…q_s+m правая часть делится на р₁.По св-ву 4 хотя бы 1 из этих мн-ов совпадает с р₁ с точностью до постоянного множителя,наприм., q₁, т.е. q₁=с₁р₁, с₁ÎР. p₂…p_s=с₁q₂…q_s+m Аналогично q₂=с₂р₂, с₂ÎР. И т.д. После s сокращений получим:е=с₁с₂…с_sq_s+1…q_s+m.Т.к степень левой части = 0, то в правой части м.б.только с₁ с₂… с_s. Т.е.в данных разлож-х одинак-е кол-во мн-ов и они могут различаться только порядком следования и постоянными множ-ми. ч.т.д. Разлож-е f(x)=а* , где все различные множ-ли Р(х), аÎP, a≠0 наз. каноническим разлож f(x)ÎP(х) над полем Р. Всякий мн-н f(x) степени n³1 над полем комплексных чисел им. хотя бы 1 комплексный корень. Неприводим. над полем комплексных(С)чисел являются только мн-ны 1-ой степени. Неприводим. над полем действит-ых(R) чисел явл-ся только мн-ны 1-ой и 2-ой степени,кот. не им. действит. корней.Всякий мн-ен f(x), n³1 над полем R раскладывается в произведение мн-ля a_n, явл-ся старшим коэф-ом f, и неприводимых мн-ов со старшим коэф-ом 1, причем лин-й мн-н им.1 дейсв. корень, а квадратичный–2 комплексно-сопряженных. И это разлож-е един-но с точностью до порядка следования. Мн-н с рациональными коэф-ми 2-й или 3-й степени разложим над полем Q на непривод.мн-лиó,когда он им. хотя бы 1 рац.корень. Кр.Эйзенштейна: Если для мн-на f(x)= с целыми коэф-ми можно подобрать такое простое число р, что: 1) а_n не÷на р; 2) (а₀,а₁…а_n-1)÷на p; 3) а₀ не ÷ на ,то f(x) не приводим над полем Q. Поле –комутативн. кольцо с 1-цей е≠0 в кот кажд.ненулевой эл-т обратим.(Z не поле)

29.Лин-е пр-во.ЛЗ и ЛНЗ сис-мы век-ов... К¹Æ эл-ов любой природы, с заданными на нем операциями + и ´ наз кольцом относительно сложения и умножения,если: 1) К –абелева группа по сложению; 2) на К умнож-е ассоциативно; 3) На К вып-ся дистрибутивный з-н умнож-я относительно слож-я [(a+b)c=ac+bc]. Коммутативное кольцо Р с ед-цей е¹0,наз полем, если в нем каждый ненулевой эл-т им.обратный. Пусть Р– поле.Его эл-ты бу.наз-ть скалярами. V¹Æ наз. линейным(векторным) пр-ом над полем Р,если выполн-ся следующие усл-я: 1) на V опр-на операция сложения: "a,bÎV $!(a+b)ÎV;2)V–абелева группа по слож-ю(слож-е ассоциативно, коммутативно, хотя бы 1 правый нейтральный и симметричный эл-т относительно слож-я); 3) опр-но умнож-е эл-ов из V на скаляр из поля Р:"aÎР,"aÎV:$!aaÎV; 4) "a,bÎР,"aÎV:(ab)a=a(ba); 5) "a,bÎР,"aÎV:(a+b)a=aa+ba; 6) "aÎР,"a,bÎV: a(a+b)=aa+ab; 7) "aÎV:1*a=a. Пр. вектор-го пр-ва:Рⁿ={(a₁,a₂,…a_n)|a_iÎP},Rⁿ,Cⁿ. b=a₁a₁+a₂a₂+…+a_na_n наз лин-ой комбинацией вект-в α₁,α₂,…α_n, a_iÎP–коэф-ты лин-ой комбинации.Сис-ма вект-в(a₁,a₂,…a_n)ÎV наз. линейно зависимой (ЛЗ),если скаляры a₁,a₂,…a_nÎP не все из кот.=0,такие что a₁a₁+a₂a₂+…+a_na_n=0.Если рав-во выполняется только тогда,когда все a_I=0,то сис-ма линейно независима (ЛНЗ). Т. (о ЛЗ). Сис-ма век-ов (a₁,a₂,…a_m)ÎV, m>1 ЛЗó,когда хотя бы 1 век-р из этой сис-мы явл-ся лин-ой комбинацией остальных век-ов. Док-во. 1) Пусть сис-ма ЛЗ скаляры a₁,a₂,…a_nÎP не все из кот.=0,такие что a₁a₁+a₂a₂+…+a_na_n=0.Пусть a₁¹0,тогда а₁=(-a₂/a₁)a₂+…+(-a_n/a₁) a_n.В др.обозначениях: а₁=b₂a₂+…+b_na_n,где коэф-ты при а_iÎР,т.о.получили линейную комбинацию век-ов. 2) Пусть а₁ явл-ся лин-ой комбинацией остальных век-ов, Тогда 1а₁+(-b₂)a₂+…+(-b_n)a_n, где коэф-т при а₁ отличен от 0Þсис-ма ЛЗ.ч.т.д. Сл.1. Всякая сис-ма,содержащая нуль-вектор ЛЗ. Сл.2. Если подсис-ма сис-мы ЛЗ,то и вся сис-ма ЛЗ. Сл.3. Если сис-ма ЛНЗ,то любая ее подсис-ма ЛНЗ. Пусть дано лин-е вектор-е пр-во L над полем Р.(Нулев. пр-во не им.базиса). Базисом лин-го вектор-го пр-ва L над полем Р наз любая ЛНЗ сис-ма вект-в,такая что ч/з нее линейно выражается любой вектор пр-ва. Кр.базиса. ЛНС сис-ма вект-ов из пр-ва L над полем Р явл-ся базисом ó,когда она явл-ся максимально ЛНЗ(сист становится ЛЗ при прибавлении к ней любого вектора из L). Размерностью пр-ва L над полем Р наз.число векторов его базиса. Существуют конечномерное и бесконечномерное пространства. Не пустое мн-во М лин-го пр-ва L над полем Р наз.подпр-вом пр-ва L,если оно само образует пр-во относительно сложения и умножения вектора на скаляр. Кр.подпр-ва. Не пустое мн-во М лин-го пр-ва L над полем Р образует подпро-во ó,когда 1) "a,bÎV^$!(a+b)ÎМ; 2) "aÎР,"aÎМ: $!aaÎV. Мн-во лин-ых комбинаций векторов a₁,a₂,…a_nÎL над полем Р наз линейной оболочкой, натянутой на векторы a₁,a₂,…a_n. Размерностью линейной оболочки явл-ся ранг сис-мы векторов a₁,a₂,…a_n.

30.Скаляр-е,вектор-е и смешан-е произвед-е вект-ов 3-хмерного евклидова пр-ва. Прилож-я к реш-ю з-ч. Век-р –направл-ый отрезок. 2 век-ра коллинеарны если прямая,кот.они оба параллельны. 3 век-ра компланарны,если пл-сть,кот.все 3 параллельны.Непустое мн-во V наз. векторным(лин)пр-вом над полем Р,если вып-ся след усл-я: 1) на V опр-на операция слож-я: "a,bÎV:$!(a+b)ÎV; 2) V–абелева группа по слож-ю(слож-е ассоциатив.,коммутатив., хотя бы 1 правый нейтральный и симметричный эл-т относительно слож-я); 3) определено умнож-е эл-ов из V на скаляр из поля Р:"aÎР,"aÎV:$!aaÎV; 4) "a,bÎР,"aÎV:(ab)a=a(ba); 5) "a,bÎР,"aÎV:(a+b)a=aa+ba; 6) "aÎР, "a,bÎV:a(a+b)=aa+ab; 7) "aÎV:1*a=a. Пусть L-лин пр-во над полем R.Отобр-ие L²→R наз. скаляр.умнож-ем в-ров,а образ пары в-ров ÎL наз. скаляр.произвед-ем и обознач. , если вып-ся след усл-я: 1. "a,bÎL:ab=ba (коммутативно); 2. "a,b,cÎL:(a+b)c=ac+bc(дистрибутивно); 3. "a,bÎL,αÎL:(αa)b=α(ab) (ассоциативно); 4. "αÎL,α≠0:α²>0. Св-ва век-го умнож-я: 1. век-ое произвед-е век-ов=0 в-ры коллинеарны. 2. При изменении порядка сомножителей вект-ое произвед-е изменяет знак на противоположный(св-во антикоммутативно a*b=-b*a); 3. Век-ое умнож-е ассоциативно относительно числового множителя (αa)b=α(ab); 4. Век-ое умнож-е дистрибутивно относительно слож-я век-ов (a+b)c=ac+bc. 2-а ненулевых в-ра и перпендик-ны,если =π/2. Скаляр.произвед-ем 2-х в-ров наз число,равное произвед-ю длин в-ров на cos угла м/д ними ,где Вект-ое пр-во L над полем R,в к-ом задано скаляр.произвед-е наз. евклидовым пр-вом (Е). 2-а в-ра и наз. ортогональными,если ,т.е.(a ^ b). С-ма в-ров (a₁,a₂,…a_n)ÎЕ наз. ортогональной,если ее в-ры попарно ортогональны. 2-а в-ра и наз. ортонормированными,если они ортогональны и нормированы().С-ма в-ров (a₁,a₂,…a_n)ÎЕ наз. ортонормированной,если она ортогональна и ее в-ры нормированы.Базис (a₁,a₂,…a_n)ÎЕ наз. ортогональным,если сис-ма a₁,a₂,…a_n ортогональна(ортонормирован.,если с-ма ортонормированна). Т. Скаляр.прозвед-е в-ров и зад.своими корд-тами в ортонормированном базисе взаимно перпендикулярны a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=0. Т. Скаляр.произвед-е 2-х в-ров и из пр-ва Е разложенных по базису=сумме произведений одноименных корд-т базис ортонормированный.Выраж-е векторного произвед-я ч/з координаты век-ов: . Площадь треугольника по известным координатам его вершин A(x₁,y₁), B(x₂,y₂),C(x₃,y₃) вычисляется по формуле .Смешанным произвед-ем 3-х век-ов наз.число,равное .Обознач-ся . Св-ва смешан-го произвед-я: 1. (геометр-ий смысл смешан.произвед-я)Смешанное произвед-е 3-х век-ов с точностью до знака=объёму параллелепипеда,построен.на этих век-ах,как на рёбрах,т.е. ,т.о. и 2. Для"век-ов справедливо рав-во ; 3. При перестановке"2-х сомножителей смешан-е произвед-е меняет знак. 4. Смешан.произвед-е ó, когда 1-н из сомножителей=0 или век-ры компланарны. 5. Необход.и достаточ. усл-ем компланарности век-ов явл-ся рав-во нулю их смешан.произвед-я().В координатной форме условие компланарности имеет вид: .

31. Плоскость и прямая в прастранстве. 1. Ур-ние пл-ти,заданное т-кой M₀(x₀,y₀,z₀) и направл-щим подпр-вом L с базисом образованным в-ми , : 2. Ур-ние пл-ти, задан. 3-я т-ми M₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃): 3. Ур-ние пл-ти, заданной т-кой M₀(x₀,y₀,z₀), и перпендикул.в-ром :A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.Если выбрана с-ма координат,то ур-ние Ах+Ву+Сz+D=0(при (A,B,C,) (0,0,0))-общее ур-ние пл-ти. Уравнения прямой в пространстве: 1. Канонич.ур-ие прямой,зад.2-мя т-ками: 2. Каноническое ур-ние прямой, ,зад-ое т-кой M₀(x₀,y₀,z₀)и направляющим век-ом . 3. Параметрическое ур-ние прямой Взаимное расположение двух плоскостей: Пусть плоскости заданы своими общими ур-ями: (1) Вопрос о взаимном расположении этих пл-стей сводится к реш-ю 2-х лин Ур-ий с 3-мя неизв.Если коэф-ты при перем-х непропорциональны, то пл-сти пересекаются по прямой. Если коэф-ты пропорциональны, а свободные члены нет, то данные пл-сти параллельны. Если , то пл-сти совпадают. Взаимное расположение прямой и плоскости. Пусть в пр-ве прямая d задана точкой и направляющим и в-ром , пл-сть . Тогда 1. , т.е. имеют общую точку; не параллельна . Для отыскания корд-т точек пересечения прямой и пл-сти решается система, сост из ур-ий прямой и пл-сти. 2. 3. d лежит в пл-сти Располож-е 2-х прямых в пр-ве. Пусть , : 1. Прямые и явл. скрещивающимися,если они не лежат в одной пл-ти. 2. Прямые и ,лежащие в одной пл-ти,пересекаются ó,когда их направлящие векторы неколлинеарны. 3. Прямые и лежащие в одной пл-ти, будут параллельны, если они не имеют общих точек. 4. Прямые и совпадают, если векторы , , попарно коллинеарны.

32. Определение ф-ии от мтрицы. Св-ва ф-ий от матриц. Интерполяционый многочлен. Спектральное разложение f(A). Пусть АÎM_n(C)(мн-во квадр. м-ц над полем компл. чисел) и ф-ция f(x) – ф-ция скал. аргумента х. Требуется определить, что следует понимать под f(A). Реш-е этой з-чи изв., когда f(x)=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀. В этом сл. f(A)=a_nAⁿ+…+a₁A+a₀E. Определим f(A) в общем случае. Обозн. m_A(x)=(x-l₁)^m1(x-l₂)^m2…(x-l_S)^ms (1) - min мн-н м-цы А (l₁,… l_S – разл. собств. знач-ия А). Степень этого мн-на _. Пусть 2 мн-на g(x) и h(x) таковы, что g(A)=h(A) (2). Обознач. разность d(x)=g(x)-h(x), тогда d(A)= 0 – аннулирующий мн-н для м-цы А и он делится на m_A(x), тогда справ. d(x)=m_A(x)q(x). Вообщем, мн-н f(x) наз. аннулирующим мн-ном для м-цы А, если f(A)=0.

SpA={ }. Тогда в силу (1) d(l_k)=0, d’(l_k)=0, …d^(mk-1)(l_k)=0, (k=1,s), т.е. g(l_k) = h(l_k), g’(l_k)=h’(l_k)…g^(mk-1)(l_k)=h^(mk-1)(l_k), k=1,s. Т.о. получили: если мн-ны g(x) и h(x) принимают одинаковые знач-я при x=A, то они принимают одинак.знач-я на SpA.

Пусть f(x) –нек-ая ф-я. Условимся m чисел вида f(l_k),f⁽¹⁾(l_k)…f^(mk-1)(l_k) (3) наз. знач-ми ф-ии f(x) на SpA, т.е. f(SpA)={ f(l_k),… f^(mk-1)(l_k) }(спектр м-цы – мн-во её собств. знач-й). Говорят, что ф-ция f(x) определена на SpA, если определены все знач-я f^(mk-1)(l_k), . Знач-е ф-ии f(A) опред. как знач-е нек-гомн-на g(x) при x=A, кот. приним.те же знач-я на SpA что и x. Мн-н g(x) из определения ф-ии от матриц наз. интерполяционным мн-номЛогранжа-Сильвестра.

Среди мн-нов над С, приним. те же знач-я на SpA, что и f(x) им. единств. мн-н r(x) степени <m. Это остаток от деления мн-на, им. те же знач. на SpA, что и f(x), на m(x), т.е. g(x)=p(x)m(x)+r(x). Мн-н r(x) будет интерполяционным мн-ном Л-С для ф-ции f(x) на SpА. Строится он так: пусть вып.(1) и (2), изв. . Составим дробн.-рац. ф-ю: и разложим её на простейшие дроби: (4). Умнож. (4) на знаменатель последней дроби, т.е. на и получ. (5). Тогда . Чтобы найти след. коэф-ты, надо найти производную от (5) и т.д. В итоге получ. r(x) и подставл. x=A, т.е. f(A)=r(A). Св-ва ф-ий от м-ц(теоремы): 1) м-ца A M_nC, f(x) C[x], l₁,l₂…l_n – собств. знач-ия (с учетом кратностей) м-цы А, тогда f(l₁),…f(l_n) – собств. знач-ия м-цы f(A) 2) м-ца A M_nC и f(x)-произвольная ф-я, опред. на SpA, то если l₁,l₂…l_n – собств. знач-ия м-цы A, то f(l₁),…f(l_n) – собств. знач-ия м-цы f(A). Док-во: т.к. f(x) опред. на SpA, то интерп. мн-н r(x) такой, что r(A)=f(A) (*) и r(x) приним. те же знач-я на SpA, что и f(x), т.е. f(l_i)=r(l_i)(**). По св-ву 1) след. что если l₁,l₂…l_n – собств. знач-ия м-цы A, то r(l₁),…r(l_n)- собств. знач-ия м-цы r(A), а из (*) и (**) след. f(l₁),…f(l_n) – собств. знач-ия м-цы f(A). 3) Если 2 м-цы A и B подобны, f(x) опред. на SpA или SpB, то собств. знач-я м-ц f(A) и f(B) совпадают и справ. f(B)=T^-1f(A)T, T- невырожденная 4) Если A-блочно-диаг. м-ца, т.е. А=diag(A₁,A₂,…A_S) и f(x) опред. на SpA, то f(A)=diag(f(A₁₎,f(A₂₎,…f(A_S)). Т-ма о спектральном разложении: Пусть м-ца A M_nC и для неё справ. (1), f(x)- произв. ф-я на SpA, f_k^(j) – значение j-ой производной при x= l_k (f_k^(j)₌f^(j)(l_k)), тогда сущ. незав от f м-цы z_kj, что справ. разложение , где –лин. незав. и перестановочны с м-цей A и они наз. компонентными м-цами. Св-ва комп. м-ц: 1) 2) 3) 4)