Задача Коши для дифференциального уравнения и для системы дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности решения. Случай линейных уравнений и систем. 1 страница

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:F(x, у(x), у'(x), y''(x), …, у⁽ⁿ⁾(x))=0(1),где F-известная функция от независимой переменной х, искомой функции у (х) и производных этой функции до n -го порядка. Порядком обыкновенного ДУ наз. наивысший порядок производной, которая содержится в этом ур-ии. Иногда в ДУ вида (1) вместо производной исходной ф-ции записываются их дифференциалы, то порядком уравнения называется наивысший порядок дифференциала. Ф-ция у (х) наз. решением (интегралом) ДУ (1) n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале I и на нем уравнение (1) обращает в тождество. Ф-ция у=j (х, С₁,…, С_n) - наз. общим решением ДУ (1) области G, где определено это уравнение, если при соответствующем выборе постоянных С₁,…, С_n функция j обращается в любое решение этого уравнения график, которой лежит в заданной области G. Уравнение Ф (х, у, С₁,…, С_n)=0 наз общиминтегралом ур-ния (1) в области G, если при соответствующем выборе постоянных С₁,…, С_n это ур-ние дает любую интегральную линию проходящую в области G. Общий интеграл ДУ (1) отличается от общего решения этого ур-ния, тем, что в общем решении искомая функция явно выражается через независимую переменную х и произвольные переменные, а общий интеграл ДУ (1) задает решение этого ур-ния (1) задает решение этого ур-ния в неявном виде. Среди общих решений ДУ выделяют частные решения и особые решения. Ч астным реш - решение ДУ (1), которое получается из общего реш путем подстановки вместо произвольных постоянных С₁,…, С_n их значений, при этом, очевидно, каждому конкретному набору значений произвольных постоянных С₁,…, С_n соответствует единственное решение. ДУ могут иметь решения которые нельзя отнести к частным ни при каких значениях произвольных постоянных С₁,…, С_n. А это значит, что в каждой точке такого решения нарушается единственность. Такое решение называется особым. Особое значение в теории ДУ играет задача Коши. Смысл её состоит в следующем. Найти решение ДУ удовлетворяющее условиям: у=у₀, у'=y'₀, …, y^(n-1)=y^(n-1)₀, x=x₀, где у₀,y'₀, …, y^(n-1)₀ - заданные числа, которые называются начальными условиями. А задачу Коши иногда называют начальной задачей. Решить задачу Коши для данного ДУ значит найти решение этого уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям. Для уравнения первого порядка вида(1) геометрический смысл решения задачи Коши заключается в том, чтобы из семейства интегральных кривых удовлетворяющих данному уравнению выделить конкретную кривую, проходящую через точку с координатами (y₀, x₀). Если заданно ДУ второго порядка, то в качестве начальных условий берут значение независимой переменой х₀, искомой функции у₀ и производной этой функции у'₀. Решение задачи Коши для уравнения n-ого порядка вида(1) заключается в том, что должны быть известны значения независимой переменной х₀, искомой функции у₀ и всех производных до (n-1) порядка включительно. Смысл решения задачи Коши для данного уравнения состоит в том, чтобы определить, исходя из начальных условий, значения произвольных постоянных. Чтобы проверить, что данная функция является решением ДУ n-ого порядка достаточно значение этой функции и всех её производных до n-ого порядка подставить в заданное ДУ. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши: =f(x,y) Если функция F(x,y) определена и непрерывна в области DÌR² и дифференцируема по у, то в окрестности т. х₀ существует единственное решение у=у(х), удовлетворяющее начальным условиям у(х₀)=у₀ при этом (x₀;y₀)ÎD. Сис-ма n ОДУ: (1), где х-нез-я перем-я, уi-искомые ф-ии, заданы их произв-е до пор i, Фi – изв. ф-и от своих арг-ов.

Такие системы будем записывать: =f₁(x, y₁, y₂, …,y_n). Система функций y₁(х),…,y_n(х), которая удовлетворяет нормальной системе уравнений (3) будем наз решением этой системы. При этом уравнения y_i=y_i(х) i= определяют некоторую линию, которая наз интегральной линией системы (3). Система функций y_i=y_i(x, c₁, c₂,…, c_n) i= наз общим решением системы (3) в области G. Задача Коши для системы: Найти решение yi(x) i= системы (3) удовлетворяющее начальным условиям y₁=y₁₀,…y_n=y_n0 при х=х₀, где у_i0 (i= ) и х₀ - заданные действительные числа. Теорема (существования и единственности решения): Пусть дана система ДУ вида (5), где =(x₁, x₂, …, x_n), f=(f₁(t, ),…, f_n(t, )). непрерывны по всем своим аргументам и непрерывно дифференцируемы по зависимым переменным в области Dⁿ⁺¹ _t, . Выбраны начальные условия (t₀,x₁₀,x₂₀,…,x_n0)Î D_t, , тогда система (5) имеет единственное векторное решение, которое удовлетворяет начальным условиям x_i(t₀)=x_i0 i= на интервале I=(x₀-d,x₀+d)

Линейным ДУ первого порядка наз уравнение линейное относительно искомой функции и ее первой производной. Его можно записать в виде: +p(x)*y=f(x) (1), где p(x) и f(x)-непрерывные функции в области интегрирования данного уравнения. Линейной однородной системой n ДУ с n неизвестными функциями наз система вида:

=p₁₁(x)*y₁+ p₁₂(x)*y₂+ …+ p_1n(x)*y_n... =p_n1(x)*y₁+ p_n2(x)*y₂+ …+ p_nn(x)*y_n где p_ij, i,j= являются непрерывными функциями от х, определенными на некотором интервале (а,b). Краткая запись: (1) k= . Решением систем (1) и (2) наз функции y_i=y_i(х) i= , которые каждое уравнение системы обращают в тождество. Общее решение (2) представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и какого-либо частного решения (2). Подобно, как и для лин уравнений n-го порядка для системы неоднородных уравнений решение можно находить с помощью метода вариации произвольных постоянных.

Т. сущ-я и ед-ти для линейного ДУ п-го пор: (з-ча Коши – найти реш-е ДУ , удовл нач усл-м пусть непр вместе со своими част производными в обл-ти G и т-ка с нач усл-ми тогда реш-е з-чи Коши сущ-т на некот интервале интервале и реш-е единственно на I.

24.Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения и системы уравнений с постоянными коэффициентами. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:F(x, у(x), у'(x), y''(x), …, у⁽ⁿ⁾(x))=0(1),где F-известная функция от независимой переменной х, искомой функции у (х) и производных этой функции до n -го порядка. Порядком обыкновенного ДУ наз. наивысший порядок производной, которая содержится в этом ур-ии. Иногда в ДУ вида (1) вместо производной исходной ф-ции записываются их дифференциалы, то порядком уравнения называется наивысший порядок дифференциала. Ф-ция у (х) наз. решением (интегралом) ДУ (1) n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале I и на нем уравнение (1) обращает в тождество. Ф-ция у=j (х, С₁,…, С_n) - наз. общим решением ДУ (1) области G, где определено это уравнение, если при соответствующем выборе постоянных С₁,…, С_n функция j обращается в любое решение этого уравнения график, которой лежит в заданной области G. Уравнение Ф (х, у, С₁,…, С_n)=0 наз общиминтегралом ур-ния (1) в области G, если при соответствующем выборе постоянных С₁,…, С_n это ур-ние дает любую интегральную линию проходящую в области G. Общий интеграл ДУ (1) отличается от общего решения этого ур-ния, тем, что в общем решении искомая функция явно выражается через независимую переменную х и произвольные переменные, а общий интеграл ДУ (1) задает решение этого ур-ния (1) задает решение этого ур-ния в неявном виде. Среди общих решений ДУ выделяют частные решения и особые решения. Ч астным реш - решение ДУ (1), которое получается из общего реш путем подстановки вместо произвольных постоянных С₁,…, С_n их значений, при этом, очевидно, каждому конкретному набору значений произвольных постоянных С₁,…, С_n соответствует единственное решение. ДУ могут иметь решения которые нельзя отнести к частным ни при каких значениях произвольных постоянных С₁,…, С_n. А это значит, что в каждой точке такого решения нарушается единственность. Такое решение называется особым. 1.Уравнение вида M(x)*N(у)dx=P(x)*Q(у)dy в где M,N,P,Q непрерывные й-циисвоих аргументов. –называются уравнением с разделяющимися переменными. Решение: Разделим на N(y)P(x),где N и P не равны 0. Получим -> -общий интеграл уравнения. Проинтегрировав получим решение. 2. Уравнение - однородное ДУ 1-го порядка явл однородной ф-цией или представл собой отношение 2-ух однородных. f(x,y) – однородная, если для любого t из R имеет место . Решение:Введя замену y=tx -> -> -> -> -> g(z)=c/x -> z=g^-1(c/x) -> y=x g^-1(c/x) - общее решение ОДУ. 3. Линейным ДУ первого порядка наз ур-е лин-е отн-но искомой ф-ии и ее 1-й произв: =p(x)*у+f(x) (1), где p(x) и f(x)-непр ф-ии в обл интегр-я ур-я. Решение: Рассматриваем +p(x)*у=0, dy/y=p(x)dx, , -общее решение. Пусть C зависит от х: . Найдем C(x) в явном виде , , т.к y_но=у_оо+у_чн. , _. Этот метод решения лин ДУ первого порядка наз методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа. Уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) наз уравнением в полных дифференциалах, где M(x,y) и N(x,y)- непрерывные функции и дифференцируемые по х и по у, а левая часть явл полным дифференциалом некоторой функции.Для того чтобы левая часть (1) являлась полным дифференциалом некоторой функции необходимо и достаточно чтобы .(2) В некоторых случаях, когда (2) не выполняется, можно подобрать такую функцию m(x,y), что после умножения левой и правой части на которую получим уравнение в полных дифференциалах. Такая функция наз интегрирующим множителем.Линейное однородное ДУ с постоянными коэффициентами будем записывать в виде: y⁽ⁿ⁾+a₁*y^(n-1)+…+a_n*y=0 (1)a_i=const i= . Для нахождения общего решения (1) достаточно найти фундаментальную систему ее решений. Для этого воспользуемся подстановкой y=e^lx, где l-постоянное число. Получим алгебраическое уравнение относительно l, которое наз характеристическим уравнением. 1)корни уравнения различны, действительны и не кратны: y=C₁*e^l₁^x+C₂e^l₂^x+…+C_ne^l_n^x. 2) l₁-корень кратности к>1 y=C₁*e^l₁^x+xC₂e^l₂^x+…+x^k-1C_ke^l₁^x. 3) корни хар-кого уравнения различны, но среди них есть комплексные l_k=a+bi: y=e^lx( C1sin(bx)+ C₂cos(bx)) 4)среди корней хар-кого уравнения имеются k-кратные корни: y=e^lx((C1+C₂x+…+C_kx^k-1) cos(bx) +(C_k+1+…+C_2kx^k-1) sin(bx)).Уравнение вида: y⁽ⁿ⁾+a₁*y^(n-1)+…+a_n*y=f(x) (2) a_i=const i= , f(x)-непрерывная функция на некотором интервале I наз л инейным неоднородным ДУ с постоянными коэффициентами. Его общее решение находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и одного частного решения уравнения (1). В зависимости от вида правой части ЛНДУ частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов. Линейной системой ДУ с постоянными коэффициентами наз система вида: (1) k= , где a_ki- действительные числа, а f_k(x)-функции непрерывные на некотором промежутке I. Система вида (2) k= наз однородной лин системой ДУ с постоянными коэффициентами. Решением систем (1) и (2) наз функции y_i=y_i(х) i= , которые каждое уравнение системы обращают в тождество. Чтобы найти общее решение (2) достаточно определить фундаментальную систему ее решений для этого используем формулы Эйлера. y_i=g_ie^lx, i= , где g_i-постоянные числа не равные 0. Подставив, получим: (a₁₁-l)g₁+a₁₂g₂+…+a_1ng_n=0, a₂₁g₁+(a₂₂-l) g₂+…+a_2ng_n=0, a_n1 g₁+a_n2g₂+…+(a_nn-l) g_n=0. Система (3) как однородная всегда имеет нулевое решение, для того чтобы было ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель равнялся 0. =0 (4) наз характеристическим уравнением системы (2). Из (4) находим l, а из (3) находим g_i. 1)корни хар-го уравнения действительны и различны, то общее решение (2) имеет вид: . 2)корни уравнения различны, но среди них есть комплексные(a+bi): y_1i= С_j*e^ax(g_1j*cos(bx)- g_2j*sin(bx)) и y_2i= C_je^ax(g_1j*sin(bx)+ g_2j*cos(bx)), i= .3)корни различны, но среди них есть k-кратные:y_1i= С_j*e^ax(p1_j(x)*cos(bx)-p2_j(x)*sin(bx)) и y_2i= C_je^ax(p1_j(x)*sin(bx)+ p2_j(x)*cos(bx)), i= .

25.Метод Фурье разделения переменных и его применение в реш-и краевых з-ч для ДУЧП. ДУЧП 2-го порядка(т.е.искомая ф-ия зависит только от 2-х независ. перемен.(x,y)),им.вид:a₁₁ ²u/ x²+2a₁₂ ²u/( x y)+a₂₂ ²u/ y²+b₁ u/ x+b₂ u/ y+cu =f(x,y),a₁₁,a₁₂,a₂₂,b₁,b₂,c–коэф.,явл.веществ.числами.Если f(x,y)º0,то ур-е наз. однородным,если же f(x,y)¹0,то неоднородным лин. ДУ 2-го пор. в ЧП.Пусть в обл.Р задано это ур-ие.Если a²₁₂-a₁₁a₂₂>0 –ур-е гиперболического типа;если a²₁₂-a₁₁a₂₂=0 - параболического типа;если a²₁₂-a₁₁a₂₂<0 - эллиптического типа. Рассм.з-чу о колебании струны,закреп-й на концах,при кот ф-ия u(x,t)даёт отклонение струны от оси Ох.Для нахожд-я ур-я колебания струны необход.задать доп-е усл-я,кот разбиваются на 2 типа:- начальные условия,кот.хар-ют искомую ф-ю u(x,t)в начальный момент времени (чаще всего t=0);- граничные или краевые усл-я,кот.хар-ют поведение искомой ф-ии на границе рассм-й обл.Если концы струны закреплены и длина струны=l(0 x l),то должны вып-ся граничные условия u(0,t)=0 и u(l,t)=0.Такие гранич.усл-ия наз. однородными. Уравнение колебания струны: ²u/ t²=c^{2 2}u/ x².Здесь u(t,x)-смещение струны из положения равновесия,а c-скорость распространения волны. u(0,x)=f(x), u_t(0,x)=g(x).Будем считать,что на концах струны функция u(x,t) обращается в 0:u(x,t)│_x=0=u(x,t)│_x=L=0.Представим реш-е в виде: u(x,t)=X(x)T(t); X_n(x)=sin(πnx/L), T(t)=A_ncos((απn/L)t)+B_nsin((απn/L)t).Следовательно,реш-е им.вид u(x,t)=[A_n *cos((απn/L)t)+B_nsin((απn/L)t)]sin(πnx/L);A_n=2/L*∫₀^Lf(x) sin(πnx/L)dx, B_n=2/nπα *∫₀^Lg(x)sin(πnx/L)dx. Одномер.ур-е теплопроводности: Рассм. след.з-чу:u_t=a²u_xx, 0<x< l,0<t≤T;u(x,0)=φ(x);0≤x≤ l. u(0,t)=u(l,t)=0,0≤t≤T.Требуется найти ф-ию u(x,t)для (x,t):0≤x≤ l,0≤t≤T.Представим искомую ф-ию в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t).Её реш-е сводится к реш-ю линейного дифф-го ур-я и рассмотрению 3-х случаев: 1) λ<0, 2) λ=0, 3) λ>0.Общий вид реш-я: u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=C_nsin((πn/ l)x)exp(-a² (πn/ l)²t),n=1,2,…,u(x,0)=∑_n=1^∞C_nsin((πn/ l)x)=∑_n=1^∞A_nsin((πn/ l)x);C_n=A_n=2/ l *∫₀ ^l φ(ξ)sin((πn/ l)ξ). З-ча Дирихле для ур-я Лапласа в круге: Найти ф-ию U,уд.ур-ию:∆U=0 (1) внутри круга и граничному усл-ю U(R,φ)=μ(φ) (2) на границе круга,где μ(φ)-заданная ф-ия,φ-полярный угол.∆U= ²U/ x²+ ²U/ y²=0.Введем поляр.сис-му координат(ρ,φ)с началом в центре круга:x=ρ*cos(φ),y=ρ*sin(φ). Ур-ие(1)в поляр.координатах им.вид ∆U= ²U/ ρ²+(1/ρ) U/ ρ+(1/ρ²) ²U/ φ².Решим ур-ие методом разделения переменных,т.е.будем искать частное реш-е ур-ия(1),вида:U(ρ,φ)=P(ρ)Ф(φ)≠0.Реш-е ур-ия им.U(ρ,φ)=(1/2π)∫₀^2πμ(θ)dθ*(R²-ρ²)/(R²+ρ²-2Rρcos(φ-θ)).

26. ЛИУ Фредгольма и Вольтерра.Ур-ия с вырожд.и малым ядром.Альтернатива Фредгольма. Интеграл.ур-ем Фредгольма 2-го рода наз.ур-ие x(t)=∫_a^bK(t,s,x(s))ds+y(t) (1). Опр. Если [a,b] R,T={(t,s) R²│a≤s≤t, a≤t≤b},K:T R→R,y:[a,b]→R,то выделяют класс ур-ий вида x(t)=∫_a^tK(t,s)x(s)ds+y(t) (2) вкл.инт.с переменным верхним пределом,такие ур-ия наз. ур-ми Вольтерра. Опр. Ядро K(t,s)наз. вырожденным,если оно м.б.представлено в виде K(t,s)=∑_k=1ⁿa_k(t)b_k(s) (3). Опр. ИУ 2-го рода наз. вырожденным,если ядро K(t,s) представимо в виде(3). Опр. Если выполн.усл.│K(t;s;z₁)-K(t;s;z₂)│≤L│z₁-z₂│,где L>0 и L(b-a)<1,то ур-ие(1)наз. ИУ 2-го рода с малым ядром. Пусть D-область в Rⁿ.В пр-ве L₂(D)рассм.ИУ 2-го рода x(t)-∫_DK(t,s)x(s)ds=y(t) (4). x(t)-∫_DK(t,s)x(s)ds=0 (5) - однородное, u(t)-∫_DK(s,t)u(s)ds=g(t) (6) -сопряженное, u (t)-∫_DK(s,t)u(s)ds=0 (7) -сопряжен.однородное. Т.(альтернатива Фредгольма). Пусть ядро K(t,s)измеримо,как ф-ция 2-х переменных,и уд.усл. (3),тогда для ур-ий(4)-(7)в пр-ве L₂(D)возможны только 2 случая: 1. однород.ур-ия(5)и(7)им. только нулевые реш-я;ур-ия(4)и(6)разрешимы для любой правой части. 2. ур-ие(5)им. конечное число n линейно независ.реш-й x₁,x₂,…,x_n;ур-ие(7)им.также n линейно независ.реш-ий u₁,u₂,…,u_n;ур-ие(4)разрешимо для данной ф-ии y L₂(D)<=>когда выполнено n усл-ий разрешимости:∫_Dy(t)u_k(t)dt=0,k=1,…,n (8). При выполнении(8)общее реш-е(4)им.вид x=x₀+∑_k=1ⁿc_kx_k,где x₀–частное реш-е(4),c_k-произвольные постоянные.