Координатні формули симетрії відносно точки

Для того щоб знайти координатне подання геометричного перетворення площини, встановлюють зв'язки між координатами довільної точки А (х, у) цієї площини і координатами точки А' (х', у'), яку дістали внаслідок дії даного перетворення на точку А (х, у). Вирази, які задають координати х', у' образу точки А через координати х, у прообразу, називаються координатними формулами даного перетворення. Ці формули повністю визначають перетворення координатної площини.

Знайдемо координатні формули симетрії відносно точки А₀(х₀, у₀). Нехай А(х,у) і А(х',у') – дві взаємно симетричні точки відносно точки А₀. Оскільки А₀ – середина відрізка АА',то її координати визначаються за формулами: , . Записавши ці рівності відносно х' і у', дістанемо координатні формули симетрії відносно точки: .

Коли центр симетрії збігатиметься з початком координат, тобто А₀(х₀,у₀)=О(0,0), то координати взаємно симетричних точок А(х, у) і А'(х', у') визначатимуться такими рівностями: .

Симетрія відносно прямої

Означення 2.1. Нехай l – деяка пряма площини. Перетворення площини, при якому точки прямої l самі собі відповідають, а будь-якій точці А, не належній прямій l, відповідає така точка А' цієї ж площини, що відрізок АА' перпендикулярний до прямої l і ділиться нею навпіл, називається симетрією відносно прямої l, або осьовою симетрією.

Пряма l називається віссю симетрії. Точка А' називається симетричною точці А відносно прямої l. Осьову симетрію з віссю l позначають символом S_l,. Якщо точка А' є образом точки А в симетрії відносно прямої l, записують:

А' = S_l(А),або S_l: А А', або А А'.

Осьова симетрія повністю визначається заданням або осі симетрії, або однієї пари відповідних точок, або двох різних незмінних точок.

Справді, якщо задану пряму l на площині вибрано за вісь симетрії, то згідно з означенням для будь-якої точки А площини можна знайти її образ такою побудовою.

1. Через точку А проведемо пряму, перпендикулярну прямій l, до перетину з нею в точці А₀ (мал. 2.1).

2. По інший бік від прямої l на побудованому перпендикулярі від точки А₀ відкладемо відрізок А₀А', рівний відрізку АА₀, дістанемо А' = S_l(А).

Нехай осьова симетрія задана однією парою відповідних точок В і В'. Тоді, знайшовши середину В₀ відрізка ВВ', проведемо через В₀ пряму l, перпендикулярну до відрізка ВВ'. Це й буде вісь симетрії, у якій В' = S_l(B). Тепер можна будувати скільки завгодно пар відповідних точок за означенням 2.1.

Якщо ж осьову симетрію задано двома незмінними точками, то пряма, яка проходить через ці точки, буде віссю симетрії, бо за означенням 2.1 незмінними точками є точки осі симетрії.

На мал. 2.1 побудовано три пари відповідних точок: А' = S_l(А), В' = S_l(B), C' = S_l(C). Тоді можна записати: А'В' = S_l(AB), А'C' = S_l(AC), B'C' = S_l(BC).

Означення 2.2. Якщо в симетрії відносно прямої l деяка фігура F відображається на себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої l,а пряма l називається віссю симетрії фігури F. Наприклад, бісектриса кута є його віссю симетрії; серединний перпендикуляр відрізка є його віссю симетрії; кожна висота рівностороннього трикутника є його віссю симетрії; кожна діагональ ромба (квадрата) є його віссю симетрії; кожний діаметр кола є його віссю симетрії і т.д.

Означення 3.3. Фігура F', яка є образом фігури F у симетрії відносно прямої l,називається симетричною фігурі F відносно прямої l.

Перетворення фігури F у фігуру F ', при якому довільна її точка М переходить у точку М', симетричну М відносно прямої l,називається перетворенням симетрії відносно прямої l.