Векторним добутком векторів 
та 
називається вектор 
, який задовольняє умови:
– напрям вектора 
такий, що він перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори та , тобто 
;
– вектор утворює з векторами та так звану праву трійку векторів, тобто вектор проведений так, що спостерігач бачить з його кінця найкоротший шлях від вектора до вектора проти годинникової стрілки (рис. 2.9);
– довжина вектора визначається за формулою (2.20)
 .
| (2.20) |
| |
| Рис. 2.9 |
Геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма, сторонами якого є дані вектори.
Властивості векторного добутку векторів:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
, якщо 
;
6) добутки ортів 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Якщо вектори задані в координатній формі 
та 
, то векторний добуток векторів можна записати у вигляді (2.21)
 .
| (2.21) |
Основні задачі, які розв’язуються з використанням векторного добутку векторів:
1) площа паралелограма, побудованого на векторах та
 ;
| (2.22) |
2) площа трикутника, побудованого на векторах та
 ;
| (2.23) |
3) висота паралелограма
 ;
| (2.24) |
4) висота трикутника
 .
| (2.25) |
Змішаний добуток векторів
Змішаним (або векторно-скалярним) добутком трьох векторів , та називається сукупність операцій:
 .
| (2.26) |
Змішаний добуток трьох векторів – це скалярний добуток одного з цих векторів на векторний добуток двох інших векторів.
Геометричний зміст змішаного добутку: модуль змішаного добутку трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда (рис. 2.11), побудованого на цих векторах, як на його ребрах.
| |
| Рис. 2.11 | |
| (2.27) |
Якщо вектори задані в координатній формі , та 
, то змішаний добуток векторів можна записати у вигляді
 .
| (2.28) |
Властивості змішаного добутку векторів:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
, якщо вектори , та компланарні;
5) 
, якщо вектори , та утворюють праву трійку векторів;
6) 
, якщо вектори , та утворюють ліву трійку векторів.
Основні задачі, які розв’язуються з використанням змішаного добутку векторів:
1) об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , та
 ;
| (2.29) |
2) об’єм піраміди, побудованої на векторах , та
 ;
| (2.30) |
3) висота паралелепіпеда
 ;
| (2.31) |
4) висота піраміди
 .
| (2.32) |
Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра”
Дано координати точок 
. Необхідно:
1. Знайти модуль та напрямок вектора 
у просторі.
2. Знайти кут між векторами 
та 
.
3. Знайти проекцію вектора 
на напрям вектора 
.
4. Знайти вектор , перпендикулярний до вектора 
і до 
.
5. Обчислити площу трикутника АВС.
6. Знайти висоту паралелограма, побудованого на векторах і .
7. Обчислити об’єм піраміди 
.
8. Перевірити, чи колінеарні вектори і 
.
9. Перевірити, чи ортогональні вектори і 
.
10. Перевірити, чи належать точки 
до однієї площини.
| Варіант 1 |  (0; -1; 2)
|  (1; 2; 1)
|  (-3; 2; 1)
|  (0; 0; -1)
|  (2; 6; -3)
|
| Варіант 2 | (-1; 3; 0)
| (2; 1; -1)
| (3; -1; 2)
| (1; -1; 3)
| (5; 2; 2)
|
| Варіант 3 | (0; 3; 1)
| (2; -1; 3)
| (0; 2; 1)
| (0; 1; 3)
| (1; -1;-4)
|
| Варіант 4 | (-1; 2; 3)
| (-1; 3; 0)
| (0; -1; 2)
| (-2;1;-1)
| (5; 2; 3)
|
| Варіант 5 | (2; -2; 0)
| (-2; -1;3)
| (1; -2; 0)
| (-1; 0; 1)
| (7;-2; -5)
|
| Варіант 6 | (-2; 0;-1)
| (1; -2; 0)
| (0; 1; 1)
| (2; 0; -3)
| (-1; 1; 4)
|
| Варіант 7 | (0; 1; -2)
| (2; 2; -1)
| (-1; -1;0)
| (-1;-1;0)
| (5; 2; 3)
|
| Варіант 8 | (3; 1; -1)
| (2; -1; 0)
| (2; 1; 0)
| (2; 1; 3)
| (4; 0; 0)
|
| Варіант 9 | (3; 2; 0)
| (1; -1; 1)
| (2; 0; -1)
| (2; 0; -1)
| (6; 6; -3)
|
| Варіант 10 | (0; -3;-1)
| (1; 0; -2)
| (-1; 0; 2)
| (0; 0; 1)
| (-1; 1; 5)
|
| Варіант 11 | (2; 1; -2)
| (1; 2; 3)
| (0; 3; 1)
| (-1;-2;-3)
| (2;-5;-18)
|
| Варіант 12 | (0; 3; -2)
| (1; -2; 1)
| (-1; 0; 3)
| (1; -2; 0)
| (-4; 0; 4)
|
| Варіант 13 | (2; -1; 3)
| (0; 1; -1)
| (-2; 3; 1)
| (0; -1; 0)
| (1; -2; 2)
|
| Варіант 14 | (0; 2; -1)
| (1; 3; -1)
| (-2; 1; 0)
| (3; 0; 1)
| (0; -1; 3)
|
| Варіант 15 | (1; -1; 2)
| (3; 1; -2)
| (0; 1; -1)
| (2; 3; 0)
| (1; 2; 2)
|
| Варіант 16 | (1; 0; 2)
| (-1; 2; 3)
| (1; 0; -3)
| (2; 1; -1)
| (5; 3; -1)
|
| Варіант 17 | (1;-3;-2)
| (0; -2; 1)
| (2; -3; 1)
| (-1; 0; 0)
| (-4; 3; 9)
|
| Варіант 18 | (1; -2; 2)
| (0; 1; 3)
| (2; 1; -1)
| (-3; 1; 0)
| (6; 2; 0)
|
| Варіант 19 | (2; -1; 0)
| (0; 1; 1)
| (-2; 0; 1)
| (-1;-1;-1)
| (0; -2; 0)
|
| Варіант 20 | (-3; 0; 1)
| (1;-2; -1)
| (0; 3; 1)
| (-2; 1; 0)
| (1; 4; 2)
|
| Варіант 21 | (-3;1;-1)
| (0; 2; 1)
| (-1; 3; 2)
| (2; -2; 2)
| (-1;-3;0)
|
| Варіант 22 | (-1;-2;-3)
| (2; 1; 0)
| (0; 1; -1)
| (-3;1;-1)
| (-1; 1; 0)
|
| Варіант 23 | (-1; 0; 0)
| (1; 2; -3)
| (2; 0; -1)
| (1; 3; -1)
| (-1; 1; 2)
|
| Варіант 24 | (0; 0; -2)
| (2; 1; -3)
| (0; 1; -2)
| (-2;-1;0)
| (1; 4; 3)
|
| Варіант 25 | (-2;-1;-3)
| (-3; 1; 0)
| (2; 1; -1)
| (0; 1; 3)
| (-2; 5; 9)
|
| Варіант 26 | (0; 1; -4)
| (2; 2; -3)
| (-1;3; -1)
| (1; 1; 1)
| (-2; 4; 0)
|
| Варіант 27 | (-3;0;1)
| (-2; 1; 3)
| (0;-1; -2)
| (-1;-2;-5)
| (1; 0; 3)
|
| Варіант 28 | (3; 0; -2)
| (2; 1; -3)
| (-1; 0; 2)
| (2;-1;-1)
| (2; 0; -1)
|
| Варіант 29 | (-4; 0; 3)
| (-3; 1; 2)
| (-1; 0; 2)
| (0; -3; 1)
| (-3; 0; 4)
|
| Варіант 30 | (2; 2; 2)
| (3; 2; 0)
| (-1; 3;-1)
| (-2;-1;3)
| (-1;-1;-1)
|
