Поняття вектора та лінійні операції над векторами

У математиці та прикладних дисциплінах розглядаються як скалярні, так і векторні величини.

Скалярна величина характеризується тільки своїм числовим значенням, наприклад: маса, енергія, площа, об’єм та інше.

Вектором називається величина, що характеризується як числовим значенням, так і напрямком, наприклад: швидкість, прискорення, сила. Вектор, як направлений відрізок, позначається або (точка – початок і точка – кінець вектора).

Вектор має довжину та напрямок. Довжина вектора називається модулем та позначається або .

Одиничним вектором або ортом називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Нульовим вектором називається вектор, якщо його довжина дорівнює нулеві.

Два вектори називаються протилежними, якщо вони мають однаковий модуль та протилежний напрямок.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих.

Три вектори називаються компланарними, якщо вони розміщені в одній площині, або паралельні одній і тій же площині.

Лінійні операції над векторами:

1) Додавання векторів.

Два вектори геометрично додаються за правилом паралелограма або правилом трикутника.

Правило паралелограма: вектор є сумою двох векторів та , тобто , якщо вектор розташований на діагоналі паралелограма, який побудований на векторах та , як на його сторонах, причому початок вектора співпадає з початком векторів та (рис. 2.1).

 

Рис. 2.1	Рис. 2.2

Правило трикутника: вектор є сумою двох векторів та , тобто , якщо початок вектора співпадає з початком вектора , кінець вектора - з кінцем вектора , причому початок вектора повинен співпадати з кінцем вектора (рис. 2.2).

Властивості суми векторів:

- ;

- ;

- ;

- .

2) Віднімання векторів.

Різницею двох векторів та є третій вектор , який в сумі з вектором дорівнюють вектору (рис. 2.3).

3) Множення вектора на скаляр.

Добутком вектора на скаляр є вектор , довжина якого дорівнює , якщо вектор має той же напрямок, що і вектор ; якщо вектор направлений у протилежну сторону вектора (приклади на рис.º2.4).

Рис. 2.3	Рис. 2.4

Властивості множення вектора на скаляр:

- ;

- ;

- .

Нехай маємо векторів та скалярних величин .

Запишемо лінійну комбінацію цих векторів, використовуючи скаляри, тобто розглянемо суму векторів .

Складемо рівність:

.

(2.1)

Якщо виконується рівність (2.1) при умові , то вектори називаються лінійно незалежними.

Якщо рівність (2.1) виконується і хоча б частина скалярів не дорівнює нулеві, то ці вектори називаються лінійно залежними.

Іншими словами, вектори називаються лінійно залежними, якщо будь-який з них можна виразити через лінійну комбінацію інших.

Проекція вектор на вісь

Нехай існує вектор та вісь (рис. 2.5). Вектор , – кут між вектором та віссю , точки та – проекції точок та на вісь.

Проекцією вектора та вісь буде величина відрізка .

Рис. 2.5

Проекція вектора та вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між напрямком вектора та додатнім напрямком осі :

.

(2.2)

Оскільки може бути в залежності від значення кута додатною або від’ємною величиною, то і проекція вектора на вісь може мати: знак „+”, якщо кут –гострий; знак „–”, якщо кут –тупий.

Властивості проекції на вісь:

-

- ;

- ;

- проекція замкнутої векторної лінії на вісь дорівнює нулю.