За допомогою систем лінійних алгебраїчних рівнянь моделюється переважна більшість практичних задач з економіки.
![]() | (1.14) |
де – коефіцієнти рівняння;
– невідомі рівняння;
– вільні члени рівняння.
Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь називають таку сукупність чисел, яка перетворює всі рівняння (1.14) на числові тотожності.
Якщо права частина (1.14) дорівнює нулю , то систему рівнянь називають однорідною, або неоднорідною, якщо
.
Система рівнянь (1.14) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо не має жодного розв’язку.
Складемо визначник третього порядку з коефіцієнтів систем – головний визначник системи:
![]() | (1.15) |
Можливі наступні випадки розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
1) , тоді система (1.14) має єдиний розв’язок, який можна знайти або за формулами Крамера, або методом Гаусса, або матричним способом;
2) , тоді система (1.14) або несумісна, або має безліч розв’язків.
Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за формулами Крамера: необхідно скласти три визначники третього порядку з головного визначника (1.15) шляхом перестановки замість 1, 2, 3–го стовпця стовпець вільних членів – це додаткові визначники
![]() | (1.16) |
За формулами Крамера розв’язок системи рівнянь (1.14) має такий вигляд:
![]() | (1.17) |
Метод Гаусса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь: метод послідовних вилучень невідомих, запропонований Гауссом можна розглянути на прикладі системи (1.14), поділивши перше рівняння на , друге – на
, третє – на
, матимемо:
![]() | (1.18) |
де . Віднявши від другого і третього рівняння перше, дістанемо
![]() | (1.19) |
де .
Поділивши перше рівняння на , а друге – на
, отримаємо
![]() | (1.20) |
Віднявши перше рівняння від другого, дістанемо
![]() | (1.21) |
звідки
![]() | (1.22) |
Тепер можна знайти та
.
Матричний метод розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь: якщо систему (1.14) записати в матричній формі
![]() | (1.23) |
де – матриця коефіцієнтів системи;
– матриця невідомих;
– матриця вільних членів.
![]() | (1.24) |
Помножимо (1.23) на обернену матрицю . Оскільки
, то дістанемо матричний спосіб розв’язування систем:
![]() | (1.25) |
Розглянемо однорідну систему рівнянь:
![]() | (1.26) |
Складемо головний визначник системи. При розв’язанні системи (1.26) можуть бути випадки:
1) , тоді система (1.26) має єдиний нульовий розв’язок, тобто
;
2) , тоді система (1.26) може мати безліч ненульових розв’язків, тобто буде неозначеною. У цьому випадку одне з рівнянь системи є лінійною комбінацією двох інших і може бути відкинуте. Тоді система буде складатися з двох рівнянь з трьома невідомими і матиме, наприклад, вигляд:
![]() | (1.27) |
Нехай із трьох визначників другого порядку цієї системи хоча б один не дорівнює нулеві, наприклад, визначник із коефіцієнтів при невідомих та
:
![]() | (1.28) |
Тоді система (1.27) є невизначеною і має безліч розв’язків, які знаходять за формулами:
![]() | (1.29) |
де ,
,
– довільне дійсне число.
Може бути випадок, коли усі три визначники системи (1.27) дорівнюють нулю. Тоді одне з рівнянь системи є наслідком іншого і може бути відкинуто. Залишається одне рівняння системи (1.27), наприклад, перше. Якщо, наприклад, , то система має розв’язок, що знаходять за формулами:
![]() | (1.30) |
де – довільні дійсні числа.
Індивідуальне завдання за темою „Лінійна алгебра”
Завдання І. Задані матриці . Необхідно:
1. Знайти величину визначника матриці (
) трьома способами:
а) використавши правило трикутника (правило Саррюса);
б) розклавши визначник за елементами того рядка, який містить нуль;
в) одержавши два нулі в будь-якому рядку і розклавши визначник по елементах цього рядка.
2. Знайти матрицю , якщо
, де
– одинична матриця третього порядку.
3. Знайти два можливі добутки, утворені з матриць .
4. Знайти матрицю , обернену до матриці
.
Варіант 1 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 2 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 3 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 4 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 5 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 6 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 7 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 8 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 9 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 10 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 11 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 12 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 13 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 14 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 15 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 16 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 17 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 18 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 19 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 20 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 21 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 22 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 23 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 24 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 25 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 26 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 27 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 28 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 29 | ![]() | ![]() | ![]() |
Варіант 30 | ![]() | ![]() | ![]() |
Завдання ІІ. Знайти величину визначника четвертого порядку, скориставшись його властивостями та одержавши три нулі в будь-якому рядку.
Варіант 1
![]() | Варіант 2
![]() | Варіант 3
![]() |
Варіант 4
![]() | Варіант 5
![]() | Варіант 6
![]() |
Варіант 7
![]() | Варіант 8
![]() | Варіант 9
![]() |
Варіант 10
![]() | Варіант 11
![]() | Варіант 12
![]() |
Варіант 13
![]() | Варіант 14
![]() | Варіант 15
![]() |
Варіант 16
![]() | Варіант 17
![]() | Варіант 18
![]() |
Варіант 19
![]() | Варіант 20
![]() | Варіант 21
![]() |
Варіант 22
![]() | Варіант 23
![]() | Варіант 24
![]() |
Варіант 25
![]() | Варіант 26
![]() | Варіант 27
![]() |
Варіант 28
![]() | Варіант 29
![]() | Варіант 30
![]() |
Завдання ІІІ. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь трьома способами:
а) за формулами Крамера;
б) методом Гаусса;
в) методом оберненої матриці.
Варіант 1
![]() | Варіант 2
![]() | Варіант 3
![]() |
Варіант 4
![]() | Варіант 5
![]() | Варіант 6
![]() |
Варіант 7
![]() | Варіант 8
![]() | Варіант 9
![]() |
Варіант 10
![]() | Варіант 11
![]() | Варіант 12
![]() |
Варіант 13
![]() | Варіант 14
![]() | Варіант 15
![]() |
Варіант 16
![]() | Варіант 17
![]() | Варіант 18
![]() |
Варіант 19
![]() | Варіант 20
![]() | Варіант 21
![]() |
Варіант 22
![]() | Варіант 23
![]() | Варіант 24
![]() |
Варіант 25
![]() | Варіант 26
![]() | Варіант 27
![]() |
Варіант 28
![]() | Варіант 29
![]() | Варіант 30
![]() |