Вступ
Методичні вказівки та індивідуальні завдання з курсу вищої математики за темами „Лінійна та векторна алгебра” та „Аналітична геометрія на площині та у просторі” складено відповідно до програми курсу.
Мета розробки: перевірка знань студентів з основних понять і методів курсу, прищеплення у студентів навичок самостійної роботи.
Типові розрахунки можуть бути використані викладачами для контролю знань студентів, для проведення аудиторних індивідуальних практичних занять, а також як домашні індивідуальні завдання.
Розділ 1. Лінійна алгебра
Матриці та дії над ними
Поняття матриці та відповідний розділ математики мають важливе значення для економістів, оскільки велика кількість досліджувальних об’єктів і процесів досить просто, а головне – компактно, подається в матричній формі.
Матрицею розміру 
називається множина з 
елементів 
, розміщених у вигляді прямокутної таблиці з 
рядків і 
стовпців:
| (1.1) |
 ,
| (1.2) |
де – елемент матриці; 
– номер рядка; 
– номер стовпця.
Матриці бувають різних типів: прямокутні, квадратні, діагональні, одиничні, нульові та інші.
Квадратною матрицею називається матриця, в якій кількість рядків і стовпців однакова. Їх кількість вказує розмір матриці. Головною діагоналлю квадратної матриці називається діагональ, яка проходить через верхній лівий та нижній правий кути матриці, тобто сукупність елементів 
.
Квадратну матрицю, в якій всі елементи, окрім тих, що розташовані на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею.
Діагональну матрицю, в якій всі елементи дорівнюють одиниці, називають одиничною і позначають літерою 
.
 .
| (1.3) |
Матриця називається трикутною, якщо всі її елементи під (над) діагоналлю дорівнюють нулю.
Нульовою матрицею називається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.
Над матрицями, як і над числами, можна виконувати різні операції, причому деякі з них – аналогічні операціям над числами, а деякі – специфічні.
Розрізняють наступні дії над матрицями:
1. Операція порівняння: дві матриці та 
називаються рівними 
, якщо рівні їх відповідні елементи, тобто 
.
2. Множення матриці на число: добутком матриці 
на число 
називається матриця 
, елементи якої визначаються за формулою
 .
| (1.4) |
3. Додавання та віднімання матриць: сумою двох матриць і 
називається матриця , елементи якої визначаються за формулою
 .
| (1.5) |
Додавати можна матриці лише однакового розміру, тобто матриці з однаковою кількістю рядків і стовпців.
Властивості операцій додавання та віднімання матриць:
- 
(комутативність);
- 
(асоціативність);
- 
(дистрибутивність);
- 
(нейтральність нульової матриці).
4. Транспонування матриці: транспонованою матрицею до матриці називається така матриця, в якій рядки та стовпці міняються місцями, і позначається літерою 
.
5. Множення матриць: добутком двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за формулою
 .
| (1.6) |
Перемножать можливо лише такі дві матриці, в яких кількість стовпців першої збігається з кількістю рядків другої:
 .
| (1.7) |
Добутком двох матриць є матриця, в якій кількість рядків дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців – кількості стовпців другої матриці.
Властивості добутку матриць:
- 
;
- 
;
- 
;
- 
;
- 
;
- 
.
Означення та основні властивості визначників
Квадратній матриці можна поставити у відповідність число, що обчислюється за певним правилом і називається визначником. Його позначають символом 
або 
. Правило, за яким обчислюється визначник, залежить від порядку матриці.
Визначник другого порядку обчислюється наступним чином:
 .
| (1.8) |
Визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналі.
Визначником третього порядку називається число, що обчислюється за таким правилом:
 .
| (1.9) |
Формула (1.9) – це формула „трикутника” для обчислення визначника третього порядку. Якщо елементи матриці третього порядку позначити точками, то три доданки, що беруться зі знаком „+”, лежать на головній діагоналі й у вершинах трикутників, одна із сторін яких паралельна головній діагоналі (рис.1.1).
|
| Рис.1.1 |
Аналогічні співмножники від’ємних доданків лежать на побічній діагоналі й у вершинах трикутників, одна із сторін яких паралельна їй (рис.1.2).
|
| Рис.1.2 |
За іншою схемою дописують два перші стовпці до матриці, внаслідок чого одержують прямокутну матрицю розміром 
. Тоді додатні та від’ємні доданки формули (1.9) беруть за схемою (правило Саррюса), зображеною на рис.1.3.
|
| Рис.1.3 |
Мінором 
елемента визначника називається визначник меншого на одиницю порядку, отриманий із даного шляхом викреслення з нього -го рядка та -го стовпця.
Алгебраїчним доповненням 
елемента визначника називається величина, яку знаходять за формулою
 .
| (1.10) |
Визначник дорівнює сумі добутків будь-якого рядка чи стовпця на їхні алгебраїчні доповнення.
Властивості визначників:
- значення визначника не зміниться при його транспонуванні (тобто замінити рядки стовпцями і навпаки);
- якщо всі елементи деякого рядка чи стовпця визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю;
- якщо у визначнику поміняти місцями два сусідні рядки чи стовпці, то знаки таких визначників будуть протилежними, а їх абсолютні значення – однаковими;
- визначник із двома однаковими рядками чи стовпцями дорівнює нулю;
- якщо деякий рядок чи стовпець визначника помножити на довільне число , то значення визначника зміниться у разів;
- значення визначника не зміниться, якщо до будь-якого рядка додати інший, помножений на довільне число або лінійну комбінацію інших рядків;
- сума добутків усіх елементів деякого рядка або стовпця на алгебраїчні доповнення до іншого рядка або стовпця визначника дорівнює нулю;
- якщо елементи будь-якого ряду визначника можна подати у вигляді суми, то цей визначник можна подати у вигляді деяких визначників;
- сума добутків елементів будь-якого ряду визначника на алгебраїчні доповнення, які відповідають елементам іншого паралельного ряду, дорівнює нулю.
У матричному численні важливу роль відіграває поняття оберненої матриці.
Матриця , яка задовольняє співвідношення
| (1.11) |
називається оберненою до матриці і позначається 
.
Для того, щоб квадратна матриця мала обернену матрицю, необхідно і достатньо, щоб її визначник не дорівнював нулю. Обернену матрицю можна знайти різними способами. Один із них полягає у побудові приєднаної матриці. Транспонована матриця, яка складена із алгебраїчних доповнень до їх елементів, називається приєднаною і позначається 
:
 .
| (1.12) |
Тоді обернену матрицю можливо знайти наступним чином:
 .
| (1.13) |
