У прямокутній декартовій системі координат розглянемо довільний вектор 
(рис..6).
Вектор 
називають полярним радіусом-вектором точки М. Спроектуємо цей вектор на координатні осі. Інакше кажучи, розкладемо вектор 
на складові вектори за координатними осями. Як показано на рис. 2.6 точки 
– проекції точки 
на відповідні координатні осі.
Вектори 
– складові вектора 
за відповідними координатними осями.
|
| Рис. 2.6 |
Вектор є сумою векторів 
, тобто
 .
| (2.3) |
Кожний з цих складових векторів можна надати у вигляді: 
, 
, 
, де 
– базисні вектори декартової системи координат у просторі. Підставляючи ці значення в (2.3), одержуємо:
 ,
| (2.4) |
де 
– скалярні величини, які називаються координатами радіус-вектора у заданому базисі.
Точка має координати свого радіус-вектора , тобто 
. Координати точки у просторі або її радіус-вектор однозначно вказують на її положення в просторі відносно вибраної системи координат.
Довільний вектор 
можна надати у вигляді:
 .
| (2.5) |
Подання вектора у вигляді суми компонентів (2.5) називається розкладанням вектора за координатним базисом (рис. 2.7).
Довжина (модуль) вектора визначається за формулою
 .
| (2.6) |
| |
| Рис. 2.7 |
На рисунку 2.7 вектор 
утворює з координатними осями 
кути 
відповідно. Тоді 
називаються напрямними косинусами вектора . Очевидно, напрямні косинуси та модуль вектора повністю визначають положення вектора у просторі. Враховуючи властивості проекції вектора на вісь, маємо:
 ,  ,  ;
| (2.7) |
| (2.8) |
Лінійні операції над векторами у координатній формі:
Дано вектори 
та 
:
1) додавання та віднімання
 ;
| (2.9) |
 ;
| (2.10) |
2) множення вектора на скаляр
 .
| (2.11) |
Умови колінеарності двох векторів та визначаються співвідношенням
 .
| (2.12) |
Скалярний добуток векторів
Скалярним добутком двох векторів та 
(рис. 2.8) називається скаляр, який дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:
 .
| (2.13) |
| |
| Рис. 2.8 |
Фізичне тлумачення скалярного добутку двох векторів полягає в тому, що такий добуток являє собою роботу, виконану при переміщенні матеріальної точки під дією одного вектора вздовж другого.
Беручи до уваги властивості проекції вектора на вісь, маємо (рис. 2.9)
 .
| (2.14) |
Властивості скалярного добутку векторів:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
, якщо 
;
6) добутки ортів 
, 
.
Якщо вектори задані в координатній формі та , то скалярний добуток векторів можна записати у вигляді (2.15)
 .
| (2.15) |
Основні задачі, які розв’язуються з використанням скалярного добутку векторів:
1) довжина вектора
 ;
| (2.16) |
2) косинус кута між векторами
 ;
| (2.17) |
3) проекція вектора на інший вектор
 ;
| (2.18) |
4) умова перпендикулярності
 .
| (2.19) |
