Пусть отрезок 
числовой оси неограничен. Это возможно в трех случаях: 
. Определим несобственные интегралы как пределы
,
,
. В последнем интеграле a и b независимо друг от друга стремятся к 
. Если 
, то предел в правой части последнего равенства называется главным значением несобственного интеграла.
Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися. Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся.
Если сходятся интегралы от функций 
, то сходятся интегралы от функций 
. Это следует из теорем о пределах.
Пример. 
, интеграл сходится.
Пример. 
, интеграл расходится.
Пример. 
сходится при 
и расходится при 
. Проверьте это.
Рассмотрим интеграл Дирихле 
.
.
При 
, интеграл расходится.
Итак, несобственный интеграл Дирихле первого рода сходится при 
расходится при 
Признаки сравнения несобственных интегралов (достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов).
1 признак. Теорема. Пусть при 
выполнено неравенство 
.
Если интеграл 
сходится, то и интеграл 
сходится.
Если интеграл расходится, то и интеграл расходится.
Доказательство. Проинтегрируем неравенство на отрезке 
,
. Так как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b.
Если сходится ( = I), то при любом b > a 
= I (I – конечное число).
Поэтому 
- монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел
, т.е. интеграл сходится.
Пусть теперь расходится. Если сходится, то по доказанному и сходится, противоречие. Теорема доказана.
Вообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции. Если значения одной функции больше, чем значения другой функции, то и соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если эта площадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь бесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство не подведет, а «очевидное» иногда подводит.
2 признак сравнения. Теорема. Пусть при x>a 
. Если существует конечный предел 
, то интегралы , , сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится).
Доказательство. Из определения предела следует 
.
Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл 
, а, следовательно, сходится интеграл . Если интеграл сходится, то сходится интеграл 
, а, следовательно, по первому признаку сравнения сходится интеграл . Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Теорема доказана.
Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной функции.
Пример. 
сходится по второму признаку сравнения, интеграл сравнения 
.
Пример. 
сходится по первому признаку, интеграл сравнения
.
