Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Свойства неопределенного интеграла




Галкин С. В.

Краткий курс математического анализа

В лекционном изложении

Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(второй семестр)

М. 2002г.

Лекция 1 Неопределенный интеграл, таблица интегралов.

Функция называется первообразной для функции , если .

Теоремы о первообразных.

Теорема. Если - первообразная для функции , то ( - константа) - тоже первообразная для функции .

Доказательство. .

Теорема. Пусть - две первообразных для функции , тогда они различаются на некоторую константу ( - константа).

Рассмотрим функцию , она непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси, как и функции . Тогда для любых конечных значений по формуле конечных приращений Лагранжа .

Следовательно,

 

Неопределенным интегралом (интеграл от функции по ) называется совокупность всех первообразных функций для функции .

.

Функция , стоящая под знаком интеграла, называется подинтегральной функцией, а выражение - подинтегральным выражением..

 

Свойства неопределенного интеграла.

 

Свойства неопределенного интеграла можно условно разделить на две группы. В первую группу собраны свойства, вытекающие из того, что интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Эти свойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование – линейная операция и определяют линейную операцию.

Первая группа свойств.

1) .

2)

3)

4) .

Докажем первое свойство.

Так как

Здесь - первообразная для .

Докажем второе свойство.

Обозначим Тогда , а по первому свойству. Поэтому функции являются первообразными для функции . Следовательно, по теоремам о первообразных, они различаются на константу, т.е. или

Третье свойство следует из первого:

Четвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что с дифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическим выражением (свойство инвариантности формы записи первого дифференциала).

Поэтому надо доказать два первых свойства.

Вторая группа свойств.

1) свойство суперпозиции

2) свойство однородности .

Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично. Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правую часть равенства, приходим к тождеству. Затем из теорем о первообразных заключаем, что левая и правая часть равенства, как первообразные одной и той же функции, различаются на константу. Эта константа может быть формально включена в неопределенный интеграл в левой или правой части равенства.

 

Для того, чтобы вычислить интеграл от функции, проще всего «угадать» первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав эту таблицу в обратном порядке. Запишем интегралы для основных элементарных функций.

1) . Эти формулы лучше запомнить, они очень часто встречаются.

2)

3)

4)

Справедливость этих формул легко проверить, дифференцируя правую часть соотношения и получая подинтегральную функцию.

Лекция 2. Методы интегрирования и таблица интегралов.

Метод подведения под дифференциал.

Пусть известен интеграл ( - первообразная для функции ). Тогда

Главное здесь – «догадаться», как представить в виде .

Доказательство. по теореме о сложной функции. Следовательно, функция и являются первообразными для функции и, по теоремам о первообразных, различаются на константу.

 

Этот метод применяется часто. Например, , .

 

 

Метод замены переменной.

 

Это – универсальный метод, метод подведения под дифференциал является частным случаем метода замены переменной.

 

Теорема. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой области и имеет непрерывно дифференцируемую обратную функцию . Тогда где .

Доказательство. Дифференцируя обе части, используя теоремы о производной сложной функции и инвариантность формы записи первого дифференциала, получим тождество дифференциалов.

, где . Из него следует равенство интегралов в левой и правой частях.

Заметим, что требования к обратной функции нужны, чтобы суметь возвратиться обратно, от переменной к переменной .

 

Для вычисления интегралов вида , если вместо него удобно вычислять интеграл , пользуются методом интегрирования по частям.

 

= - ,

если интегралы в обеих частях соотношения существуют.

Докажем справедливость этой формулы. Дифференцируя произведение функций, получим или

.

Интегралы левой и правой частей существуют().

Интегрируя, получим нужное соотношение.

 

Примеры.

.

Вычислим интегралы , .

,

.

Теперь, подставляя второй интеграл в первый, получим

.

Аналогично, подставляя первый интеграл во второй, получим

.

Пополним таблицу интегралов, применяя методы интегрирования (в первой лекции получены четыре интеграла).

5.

6.

7.

8.

Здесь сделана замена переменной, подстановка - одна из подстановок Эйлера,

, , .

 

9.

()

.

 

.

Перенося искомый интеграл из правой части в левую часть, получим

 

10.

11.

12.

13. - вывести самостоятельно.

Эти соотношения представляют собой таблицу основных интегралов.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-11-05; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1190 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Даже страх смягчается привычкой. © Неизвестно
==> читать все изречения...

2456 - | 2156 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.