Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
- некоторая первообразная функции . Тогда 
.
Доказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменному верхнему пределу следует, что 
, т.е. 
- первообразная для функции . По теоремам о первообразных две первообразных отличаются на константу т.е. 
Но 
(свойство 4 определенного интеграла), поэтому 
. Тогда 
. Следовательно, .
Формула Ньютона – Лейбница - это одна из немногих формул - связок, связывающих различные разделы математики воедино. Если бы не было формулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом исследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются в интегралах.
Мы встречались с такими формулами или теоремами – связками. Например, теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой связывает бесконечно малые и пределы. Теорема Ферма и ее следствия – теоремы о средних значениях связывают дифференциальное исчисление и теорию экстремума. В дальнейшем мы тоже будем встречаться с теоремами – связками, они всегда играют фундаментальную роль, например теоремы Остроградского – Гаусса и Стокса в векторном анализе.
Методы вычисления определенного интеграла.
Методы вычисления остаются теми же, что и методы вычисления неопределенного интеграла, но разница есть. В неопределенном интеграле, делая замену переменной, надо затем возвратиться к исходной функции, в определенном интеграле этого делать не нужно, при замене пересчитываются и пределы интегрирования для новой переменной. Определенный интеграл при постоянных пределах интегрирования – число и все равно, в каких переменных считать это число. Но требование взаимной однозначности функции – замены и в определенном интеграле сохраняется, просто оно маскируется условиями теоремы о замены переменной.
Метод замены переменной.
Пусть
1) 
непрерывны при 
,
1) значения 
, не выходят за границы 
,
2) 
,
Тогда 
Доказательство. 
.
Пример 
.
Упражнение. Найдите ошибки в применении теоремы о замене переменной.
Метод интегрирования по частям.
Пусть функции 
непрерывны на . Тогда
Доказательство остается тем же, что для неопределенного интеграла, только интегрирование проводится в пределах от a до b.
Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.
, так как
.
