Можно рассчитать балансировочную кривую (зависимость 
), которая относится, как и найденные выше показатели статической устойчивости
, к статическим ХУУ.
Для упрощения примем, что эффективность Г.О. 
соответствует одному из вариантов (с.67).
Расчет производится для ряда фиксированных точек области полета, полет считается установившимся, 
, параметры 
.
Обычно балансировочные кривые строятся для ряда фиксированных значений
, при этом заданы различные величины 
для построения кривой 
.
Балансировочные кривые относятся к статическим характеристикам устойчивости и управляемости. Для расчета балансировочной кривой используются упрощенные соотношения для 4-5-и значений скорости 
, высоты 
, массы 
.
Выше (стр.55) отмечены уравнения для решения коротко-периодического движения.
Определения:
Статическая устойчивость – способность самолета без вмешательства летчика создавать моменты, направленные на возвращение самолета к исходному равновесному состоянию после прекращения действия возмущения.
Динамическая устойчивость – соответствие переходного процесса заданным нормам.
Управляемость самолета – способность изменять положение в пространстве в ответ на усилия и перемещения на рычагах управления, создаваемые летчиком (способность самолета «ходить за ручкой»).
Самолет должен быть устойчивым относительно всех трех осей. Ниже рассматривается только продольная устойчивость.
Оценка характеристик устойчивости и управляемости производится в выбранных точках области полета, для которых значения высоты 
, скорости 
, числа 
, режима работы двигателя 
, полетного веса 
принимаются постоянными величинами.
Расчеты включают:
- расчет основных показателей переходного процесса по углу атаки 
в ответ на возмущающее воздействие;
- оценку улучшения характеристик устойчивости и управляемости с помощью демпфера тангажа. Рассматриваются такие показатели переходного процесса 
, как время срабатывания 
, относительный заброс 
, время затухания 
(см. рис.).
Исходными данными для расчетов являются величины момента инерции 
, а также 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Окончательная летная оценка дается в процессе летных испытаний, но предварительная оценка может быть получена путем решения приведенных выше уравнений.
Допущение: возмущения, действующие на самолет, считаются малыми, например, возмущение угла атаки при вертикальном порыве ветра:
- скорость нормированного порыва ветра,
- скорость крейсерского полета.
.
Когда возмущения относительно опорной траектории малы, можно считать их линейной функцией.
Например, участок кривой 
при малом 
можно считать прямой линией,
т.е. 
, в то время как вся функция 
-
нелинейная.
Представление исходных уравнений движения в линейном виде называется линеаризацией. Полученная система линейных дифференциальных уравнений может быть решена аналитически.
Для линеаризации используется метод разложения в ряд Тейлора с оставлением только слагаемых 1й степени:
.
Рассмотрим подробно линеаризацию уравнения 1:
– исходное нелинейное уравнение.
,
линейное уравнение в приращениях:
,
, и т.д.
.
, где
– момент инерции самолета,
– угловая скорость относительно оси 
,
– сумма моментов сил, приложенных к различным частям самолета.
– момент, обусловленный асимметрией самолета,
– момент, возникающий на счет угла атаки,
– момент от руля высоты,
– угол отклонения Р.В.(
),
– момент собственного демпфирования.
|
, тогда в приращениях будем иметь линейное уравнение:
.
Отметим относительно последнего уравнения:
1. Поскольку мы рассматриваем для упрощения только продольное коротко-периодическое движение, (т.е. 
), то в формулы для коэффициентов не входят производные по , 
, 
, 
.
2. По этой же причине коэффициенты в правой части уравнения 
, поэтому это – линейное дифференциальное уравнение 1го порядка с постоянными коэффициентами, которое решается аналитически.
3. Вместо угловой скорости 
применяется параметр 
, эквивалентный 
для условия 
.
4. Исключается слагаемое 
, т.к. является константой и не оказывает влияния на устойчивость.
Уравнения для коротко-периодического движения:
1.) 
2.) 
3.) 
4.) 
и 
.
Для определения математического условия устойчивости преобразуем систему из 4-х уравнений в одно уравнение положив, что 
, 
, т.е. получим однородное линейное уравнение для расчета собственного движения самолета (как правило – собственных колебаний):
(***), пусть:
,
, тогда
(*), либо
(**), где 
– постоянная времени переходного процесса, равная обратной величине круговой частоты недемпфируемых колебаний самолета 
, 
.
Оба уравнения абсолютно идентичны и коэффициенты 
и 
могут быть выражены через коэффициенты 
.
В большинстве случаев решения уравнений (*) и (**) описывают затухающие колебания, реже – апериодическое движение.
– характеристический многочлен,
корни которого: 
,
если 
– корни комплексные, движение колебательное, затухающее,
если 
– корни вещественные, движение апериодическое.
Поскольку коэффициенты 
и 
– постоянны, т.к. они вычисляются согласно формулам в уравнении (***), куда входят параметры установившегося опорного движения, то вычислив 
и 
можно сделать качественное заключение о типе переходного процесса и его устойчивости. Количественные оценки получаются только из рассмотрения решения переходной функции по времени. Для получения такого решения требуется большое число исходных данных, поэтому ниже рассмотрен конкретный пример расчета коротко-периодического движения самолета типа Ту-154 – изменение угла атаки 
в ответ на возмущающее воздействие скачкообразного порыва ветра. Задавая 
, уравнение будет неоднородным, однако его решение будет совпадать с решением однородного уравнения.
Качество переходного процесса определяет динамические характеристики устойчивости и управляемости в коротко-периодическом движении самолета, который рассматривается как колебательное звено 2го порядка. Дифференциальное уравнение колебательного движения имеет вид (по теории см. Смирнов В.И. Курс высшей математики Т.2):
.
Общий интеграл:
,
– коэффициент затухания;
– частота колебаний;
– амплитуда колебаний;
– начальная фаза колебаний.
Удобнее переходную функцию 
выражать в относительных величинах
, где
– угол атаки в установившемся горизонтальном полете,
– отклонение угла атаки от 
.
Зависимость 
имеет вид (без вывода):
,
, 
.
и 
записываются через аэродинамические коэффициенты самолета и момент инерции 
и следуют из линеаризованных уравнений коротко-периодического движения самолета (см. (*),(**),(***)).
,
– запас устойчивости с учетом аэродинамического демпфирования:
,
, развернутое выражение для коэффициента 
.
Значения 
безразмерные, 
, 
имеют размерность 
, размерность 
– 
, 
, 
, 
, 
.
Характерные параметры переходного процесса (рис.):
1. Постоянная времени:
;
2.
;
3. Относительный заброс (I-й экстремум):
;
4. Время срабатывания:
;
5. Время затухания:
.
