Расчет схемы вагона как механической системы с одной степени свободы

Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная материальная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может со­вершать перемещения только в вертикальном направлении, следо­вательно, система имеет одну степень свободы.

Будем исследовать дви­жение системы из ее ис­ходного положения равно­весия при t = 0 (рис.14.1, а), считая перемещение вниз положительным.

Пусть на балку дейст­вует динамическая сила ве­личиной: , где  частота вынуждающей силы. Обозначая дополни­тельное перемещение мас­сы m от динамических на­грузок через y (t), вводим следующие начальные условия:

; .

В процессе движения на массу действует сила инерции и сила сопротивления по Фойхту . Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, тре­ние в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.

Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего со­противления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства  неконсервативной.

Вводим следующие обозначения:  вертикальное перемеще­ние балки в точке закрепления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точке;  вер­тикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы , при этом: ;  верти­кальное перемещение балки в точке закрепления массы от дей­ствия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы при ее отсутствии.

Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произ­вольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение:

,

откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы:

Принимаем обозначения:  круговая частота соб­ственных колебаний системы;  коэффициент затухания.

С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы (14.3) принимает вид:

. Решение дифференциального уравнения (14.4), с учетом началь­ных условий (14.1) и, учитывая, что для реальных конструкций всегда выполняется , записывается в виде:

Здесь приняты следующие обозначения:

; ; .

Круговая частота называется круговой частотой соб­ственных колебаний системы с учетом сил затухания.

Коэффициент затухания колебания определяется по коррек­тированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наи­более обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.:

,

где  называется логарифмическим декрементом зату­хания и определяется через отношения соседних амплитуд коле­бания, возникающих через промежуток времени :

.

Для различных конструкций средние значения приводятся в таблице 14.1.

Выражение (14.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии силы , изменяющейся во времени по произвольному закону. Первый член выражения характеризует соб­ственные колебания системы, а второй, интегральный член  вы­нужденные колебания.

Так как , то решение (14.5) преобразуется и при­нимает вид:

.

Здесь приняты следующие обозначения:

; ; . (14.10)

Если в момент времени t = 0 система находится в состоянии покоя, т.е. , то решение (14.9) с учетом (14.10) преобра­зуется в виде:

.

Величина k_Д называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P₀ = const.

Коэффициент динамичности существенно зависит от отноше­ния . При коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при называются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение:

.