Принцип Даламбера. Вывод дифференциальных уравнений

Жесткое тело в декартовых координатах имеет шесть степеней свободы. Если данное тело имеет связи и на него действуют внешние силы, то вариационный принцип механики для движения его в направлении любой из шести координат, например для координаты z, выразится следующим образом: (m + + )δz=0, (1)

где m – масса тела;

z, – обобщенная координата и ускорение тела соответственно, = ;

– проекция внешних сил с номером i на ось Z;

- проекция реакций связей с номером j на ось Z.

Таким образом, для описания движения жесткого тела в пространстве имеем шесть уравнений вида (1) относительно координат X,Y,Z,φ,θ,ψ.

Принцип Даламбера можно сформулировать следующим образом: движущаяся механическая система и каждый ее элемент в любой момент времени могут считаться находящимися в состоянии равновесия под действием заданных сил, реакций связей и сил инерции. В аналитическом виде можно записать: + + =0.

В уравнениях суммирование производится с учетом знака направления сил. Направление положительного отсчета координат выбирается произвольно и не влияет на получаемую математическую модель. Число уравнений математической модели равно числу степеней своды механической системы.

Надо помнить, что при поступательном движении на тело действуют инерционные силы, а при вращательном – инерционные моменты.

Рекомендуется следующая последовательность составления дифференциальных уравнений согласно принципу Даламбера.

1 Определяем число степеней свободы моделируемой механической системы. Положение всех элементов системы определяется n – независимыми величинами – обобщенными координатами, т.е. число степеней свободы составляет n=6k–r, где k – число твердых тел в системе; r – число ограничений, накладываемых на координаты отдельных твердых тел жесткими связями.

2 К каждому элементу системы прикладываем заданные силы.

3 Систему выводим из равновесия, т.е. задаем малые перемещения обобщенным координатам.

4 Все связи механической системы мысленно заменяем их реакциями, нежесткие связи выражаются функциями характеристик связей и соответствующих переменных координат или скоростей.

5 К центрам масс каждого из твердых тел системы противоположно их линейным и угловым ускорениям прикладываем виды инерции и инерционные моменты, выраженные в функции этих уравнений.

6 Составляем условие равновесия каждого из элементов механической системы в виде равенства нулю главного вектора и главного момента заданных сил, сил реакций связей, сил инерции и инерционных моментов.