Закон больших чисел и теория вероятностей — научная основа анализа статистических данных

В решении важнейшей задачи — установления и количествен­ного выражения закономерностей и взаимозависимости сопи-альных явлений статистическая наука опирается на закон больших чисел (ЗЬЧ), смысл которого состоит в том, что правильности и за­кономерности социальных явлении могут быть обнаружены только при их массовом наблюдении.

Конечно, всякая наука, каждая в своей области, имеет дело с мас­совыми явлениями, ибо в законе отражается массовидное, суще­ственное, необходимое. И хотя любая закономерность носит об-ший, а потому массовый характер, но в статистике, как мы уже убедились (гл. 1), понятие массовости специфично. Оно становит­ся очевидным, если вспомнить деление закономерностей на ди­намические и статистические (гл. XIV). Статистика оперирует не родовыми, а групповыми понятиями, в которых речь идет о сред­них результатах, и то время как в родовых — о каждой входящей в него единице. Поэтому в правовой статистике знание о право-нарушаемосш как статистической совокупности не есть одновре­менно знание о конкретных преступлениях, входящих в нее. Хо­тя в данном случае статистик имеет дело не с чисто случайными явлениями, а с индивидуальными, которым присущи случайные отклонения.

В этом и заключается специфика статистического количест­венного анализа социальных процессов, в котором проявляется смысл закона больших чисел: сделанные на его основе выводы, обнару­женная тенденция, закономерность относятся к совокупности («большому числу») как таковой. То естьЗБЧ лежит в основе са­мой логики статистического умозаключения; на основе ЗБЧ вы­является массовая закономерность¹.

Для статистических закономерностей весьма характерно слож­ное переплетение внутренних и внешних причин, необходимого и случайного.

И эти закономерности образуются отнюдь не в ходе «игры слу­чая», а прежде всего в результате действия внутренних необходи­мых причин. Множество вариаций и случайных отклонений, как от-

1 См.: Яхот О.О. Закон больших чисел и социальная статистика // Вопросы философии. 1965. № 12. С. 86.

§ 2. Закон больших чисел и теория вероятностей - научная основа анализа даны» 499

мечалось (гл. X), сглаживаются (элиминируют) именно в массе, что приводит к образованию статистических закономерностей. Проявление такой закономерности и есть результат действия за­кона больших чисел, которое состоит в том, что совокупность боль­шого числа случайных явлений имеет определенные, не завися­щие от случая характеристики, выражаемые количественными показателями. То есть представление о ЗБЧ и его действии нель­зя отрывать от представления о статистической закономерности как формы, в которую облекается закономерность массового яв­ления, изучаемая статистикой с количественной стороны. При­чем ЗБЧ проявляется тем отчетливее, чем крупнее статистичес­кая совокупность.

Массовые закономерности, а вместе с ними и ЗБЧ проявля­ются в самых различных областях действительности. Особенно на­глядны они в демографии, в криминальной статистике. Так, в странах с рыночной экономикой в рабочей среде рождаемость и смертность обратно пропорциональны уровню заработной пла­ты; во всех странах с высокой продолжительностью жизни жен-шины долговечнее мужчин; смертность мужчин во всех возраст­ных когортах, начиная с детской и кончая самой пожилой, в 2— 3 раза превышает смертность женщин (что для многих явилось не­ожиданным выводом)¹; рождаемостьдевочек и мальчиков посто­янно соответствует пропорции 51:49; постоянную величину состав­ляют число браков, половое распределение преступников, мотивов, орудий убийств и т.д. при данных условиях и т.д.; обнаруживает­ся значительная устойчивость несчастных случаев в отдельные периоды года и часы суток; по данным русской почтово-телеграф-ной статистики, констатировалась значительная устойчивость вы­нутых на каждый миллион из почтовых ящиков писем (1906—1910 гг.) без указания адресата (25—27) или без указания места назначе­ния (21—29) и др.

i «Вследствие биологических факторов, как показывают некоторые исследо­вания, женский организм по своей природе должен рассматриваться как сильный пол. а отнюдь не как слабый» (Социология в СССР. Т. 2. М., 1965. С. 458). Это подтверждают и статистические данные. За минувшие пятьлет после всеобщей пе­реписи населения < 1989 г.) продолжительность жизни мужчин уменьшилась^ 64,2 ло 58,9 лет, женщин — с 74,5 до 71,9 лет. Об этом свидетельствует и статистика самоубийств: если из мужчин в возрасте от 50 до 59 лет сводят счеты с жизнью 118 из 100 тыс. их сверстников, а в возрасте от 70 лет — 103 из 100 тыс. стариков, то из женщин в этом возрасте — лишь 29 из 100 тыс. человек (см.: Российская га­зета. 19%. 16 февр.).

 

Глава XI/. Общие вопросы анализа и обобщения данных правовой статистики

В малом числе наблюдений (например, отдельные преступле­ния) случайные факторы не дают возможности обнаружить зако­номерность. Напротив, при суммировании большого числа еди­ничных явлений случайности парализуют друг друга, что позво­ляет установить законы, которые при малых масштабах маскиру­ются индивидуальными отклонениями.

Статистическая закономерность — это не особая форма дви­жения материи, а лишь внешнее проявление этого движения в статистических распределениях и обобщающих статистических характеристиках. Статистически установленные правильности в изменениях количественных показателей, повторяемость и ус­тойчивость фактов свидетельствуют лишь о том, что в исследуе­мом массовом явлении заложена известная закономерность, вскрытие которой составляет задачу соответствующей науки (на­пример, криминологии).

Закономерность массового явления, объективные связи, зало­женные в этом явлении, находят свое выражение не в отдельных показателях, а в средней величине, в характере распределения. Сред­няя арифметическая большого числа случайных величин — прак­тически величина не случайная, а необходимая, закономерная (см. гл. X). В эТом-то и состоит действие ЗБЧ, если подходить к его трактовке с философско-методологических позиции. Поэтому иногда ЗБЧ называют еще законом средних величин.

Рассмотрение ЗБЧ как одного из законов объективной дейст­вительности вместе с тем исключает его отношение к уровню кон­статированных им обобщающих статистических характеристик. Этот уровень определяется условиями, вытекающими из самой при­роды массового явления. Правильно отмечается, что ЗБЧ не со­здает уровней, а лишь регулирует случайные отклонения от задан­ных природой данного явления уровней¹.

Из сказанного ясно, что ЗБЧ основывается на понятии случай­ности и вероятности — уменьшение степени случайности и возрас­тание степени вероятности наличия определенного признака проис­ходит по мере увеличения статистической совокупности. Это может быть проиллюстрировано таким примером: если известно, что на­селение города предстаалено соотношением 48% мужчин и 52% жен­щин, то небольшая совокупность людей (например, посетителей те-

1 Си.. Дружинин Н. Что такое статистика (взгляд на науку в историческом кон­тексте) // Вестник статистики. 1992. №1. С. 43—51.

jj 2. Закон больших чисел и теория вероятностей - научная основа анализа данных 501

атра, футбольного матча и т.д.) может значительно отклониться от этих характеристик; если же увеличивать исследуемую совокуп­ность, то последует приближение к указанным характеристикам.

Естественнонаучное обоснование, точная формулировка и ус­ловия применимости ЗБЧ даются в теории вероятностей. Други­ми словами, теория вероятностей является математическим обос­нованием ЗБЧ. Объект теории вероятностей — измерение объек­тивной возможности результатов, возникающих в массе одно­родных случайных событий, и выведение на этом основании ко­личественных закономерностей, которым они подчиняются. Сра­зу оговоримся, что детальное рассмотрение теории вероятностей выходит за пределы изучаемого курса'.

С ее помощью вычисляются шансы возможного наступления случайного события. Случайный характер варьирующих от едини-, цы к единице совокупности признаков позволяет оценивать, на­сколько велика вероятность появления того или иного признака в ней. Отношение количества фактически появившихся интере­сующих нас фактов к общему количеству всех возможных фактов, выраженное в виде процента или десятичной дроби, называется частостью, или опытной (эмпирической) вероятностью. Например, если при 50-кратном бросании монеты 30 раз выпал орел, а 20 реш-¹ ка, то частость орла будет равна 0,6 (30:50), а частость решки" —,0,4(20:50).

Вероятность— «математическая, числовая характеристика сте­пени возможности появления какого-либо определенного собы­тия в тех или иных определенных, могущих повторяться неогра­ниченное число раз условиях»².

Вероятность обычно обозначается буквой Р. Например, выра-¹ Жение Р(Л) = 0,5 означает, что вероятность наступления события Л равна 0,5.

Вероятность принято классифицировать по следующей шкале:

0,00 — полностью исключено

0,10 — в высшей степени неопределенно.

0,20 — весьма неправдоподобно

0,30—0,40 — неправдоподобно

0,60 — вероятно

¹ Подробнее см.. напр.: Ягяом A.M., Ягяом ИМ. Вероятность и информация., 1973- ^!Колмогоров А. И. Вероятность// БСЭ. Изд. 3-е. Т. 4. М., 1971.

 

Глава XI/. Общие вопросы анализа и обобщения данных правовой статистики

0,70 — весьма вероятно

0,80—0,90 — в высшей степени вероятно

1,00 — полностью достоверно¹.

Таким образом, вероятность получает определенное количест­венное выражение, несмотря на то, что наличие того или иного признака или его колебания является случайным.

Если в урну поместить черный и белый шары, то при выемке одинаково можно обнаружить любой из них. При этом проявля­ется альтернативная изменчивость, которая заключается в возмож­ности лишь двух исходов: из урны можно вынуть только белый шар либо только черный шар. То же происходит и при подбрасывании монеты. Это обстоятельство одинаковой возможности выпада­ния любой стороны монеты называется равновозможностью. Со­бытие называется равновозможным, если нет причин, делающих одно из этих событий более возможным, чем другое. Событие на­зывается несовместимым в том случае, когда появление одного де­лает появление другого невозможным.

При многократном подбрасывании монеты или при многократ­ной выемке шаров из урны образуется совокупность единичных опытов, которая обладает свойствами статистической совокупно­сти. В отдельном опыте результат может быть различным — орел или решка, черный или белый шар, а в совокупности опытов про­является определенная закономерность в соотношении между числом выпавших гербов и решек или числом вынутых черных и бе­лых шаров.

Результат каждого единичного опыта с монетой или шарами также зависит от двух групп факторов: основных, связанных со свой­ствами явления, и случайных, не связанных с этими свойствами. Однако удобством монетной или урновой модели является, во-пер­вых, то, что в ней легко отделить основные причины и свойства явления от побочных; во-вторых, на этой модели легко просле­дить, как действует каждая группа причин и что является резуль­татом действия каждой из них.

В рассматриваемых примерах главное свойство монеты — ее симметричность, в силу чего при подбрасывании шансы на вы­падение герба или решки совершенно равны; главное свойство ур­ны с шарами — соотношение между числом черных и белых ша­ров. Если, например, в урне 100 черных и 100 белых шаров,

I См.: Лапотников Л. И. Эконом и ко-мате мат и чес кий словарь. М., 1987. С. 58.

g 2. Закон больших чисел и теория вероятностей - научная основа анализа данных 503

то при выемке одного шара шансы на появление черного или бе­лого шара совершенно одинаковы, а если в урне в два раза боль­ше черных, чем белых, то соответственно больше и шансов вы­емки черного шара.

Чтобы априори, т.е. до опыта, определить вероятность наступ­ления какого-либо случайного явления, нужно знать число шан­сов, благоприятствующих его наступлению, а также число всех воз­можных шансов (как благоприятствующих, так и неблагоприятст-вующих). Отношение первой величины ко второй называется математической вероятностью. Она выражается в виде дроби, где в числителе указывается число благоприятствующих шансов, а в знаменателе — число всех возможных шансов. Например, при подбрасывании монеты возможны два исхода. Если считать выпадение орла благоприятным исходом, то вероятность его рав­на 1/2. Если считать благоприятным исходом появление черно­го шара из урны, в которой находится 70 черных шаров и 30 бе­лых шаров, то вероятность благоприятного исхода при выемке од­ного шара равна 70/100, а вероятность неблагоприятного исхода равна 30/100.

Если вероятность благоприятного исхода обозначить р, а ве­роятность неблагоприятного исхода q, то во всех случаях альтер­нативной изменчивости, т.е. когда возможны лишьлва исхода, p + q= = 1.8 опыте с шарами 70/100 + 30/100 = i, в опыте с монетой ■1/2 + 1/2 = 1.

Вероятность — основное понятие теории вероятностей, кото­рая, по образному выражению П.С.Лапласа (1749—1827), естьзфй- вый смысл, переложенный на вычисление. Если придать ей матема­тическое выражение, то в общем виде она может быть определе­на так: если число шансов, благоприятствующих данному собы­тию А, обозначить буквой М, а число всех равновозможных и не­совместимых шансов — /V, то рА = M/N. Число же шансов, не бла­гоприятствующих событию А, обозначаемому А', равно N ~ М, и, следовательно, вероятность противоположного исхода qA'= = (jV - M)/N, откуда pA+qA'-\.

В числовом выражении вероятность равна доле признака во всей совокупности, как, например, доле черных или белых ша­ров в урне. Но доля характеризует состав совокупности, а веро­ятность является оценкой степени объективной возможности то­го или иного результату при отборе на удачу одной единицы из всей совокупности.

Глава XV. Общие вопросы анализа и обобщения данных правовой статистики

Это определение вероятности, данное П.С.Лапласом, являет­ся определением простейшей, так называемой классической веро­ятности, приложимой к весьма узкому кругу явлений. Для мас­совых (например, правонарушений) более подходит статистиче­ское или частотное понятие вероятности, определяемое как по­стоянное число, вокруг которого колеблются частости.

Сопоставляя эмпирическую (опытную) частость с априор­ной (математической) вероятностью, легко убедиться, насколь­ко правильны наши теоретические рассуждения. Оказывается, при малом числе наблюдений частость может значительно откло­ниться от математической вероятности, что наглядно видно из при­веденного примера, где частость орла при 50-кратном бросании монеты равна 0,6 при вероятности 0,5, а частость решки — 0,4 при той же вероятности. Но, как свидетельствует теорема П.Л. Чебы-шева (1821 — 1894), с вероятностью, сколь угодно близкой к еди­нице (достоверности), можно утверждать, что если х, у, —, w суть независимые случайные величины, имеющие определенные ма­тематические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии, то при достаточно большом числе этих случайных величин их сред­няя арифметическая будет как угодно мало отличаться от средней арифметической их математических ожиданий.

Но мы уже знаем, что чем больше число наблюдений (опы­тов с монетой или шарами), тем меньше случайности маскиру­ют действие основной причины. Так, французский натуралист Ж.Л. Бюффон (1707--1788) проделал эксперименте бросанием 4040 раз монеты; соотношение выпавших сторон оказалось рав-. но 2Q2S и 2012, что соответствовало частости герба — 0,5069. Ан­глийский ученый К. Пирсон при бросании монеты 12 000 раз по­лучил частость в 0,5016, а при 24 000 — 0,5005.

В малом числе бросаний случайные причины (потоки воздуха, разная сила бросания и пр.) парализовали действие постоянных при­чин (симметричность монеты). Только в большом числе опытов эти постоянные причины проявлялись, что и подтверждалось почти сов­падением частости и вероятности. Все это, кстати говоря, являет­ся прекрасной математической иллюстрацией тезиса Ф. Энгельса о том, что «необходимость прокладывает себе дорогу сквозь беско­нечное множество случайностей»¹, и вполне достаточным основа­нием для эмпирического доказательства закона больших чисел.

I Маркс К., Энгельс Ф. Избр. произведения Т. II. М„ 1949. С. 468.

' 2. Закон больших чисел и теория вероятностей - научная основа анализа данных 505

Вероятность органически связана с категориями причины и следствия. В самом деле, наблюдаемые на поверхности процес­сов частости — не что иное, как следствие тех или иных внутрен­них причин, определяющих вероятность явления. Таким обра­зом, вероятность выражает объективную меру связи причины со следствием, становится мощным средством исследования причин­ности в массовых явлениях. Теория вероятностей показывает, что при достаточно большом (но не исчерпывающем) числе на­блюдений могут быть выявлены и измерены правильности и за­кономерности, которые присущи изучаемой совокупности. На этом основано выборочное, или, как его иногда называют, репрезен­тативное обследование (см. гл. IX).

На основе применения теоретико-вероятностных схем изучают­ся многие явления общественной жизни: покупательный спрос, ин­дивидуальные вкусы и желания, покупательная способность семьи, грузовые перевозки и поток пассажиров и т.д., где случайности и ва­риации (независимые события) сглаживаются именно в массе, что приводит к образованию статистических закономерностей.

Применение теории вероятностей к социальным явлениям, в ча­стности к Преступности, обусловлено наряду с независимостью от­дельных событий (иррегулярностью преступлений) еще и их из­вестной устойчивостью.

Преступность представляет типичную статистическую сово­купность, обладающую относительно устойчивыми характерис­тиками, позволяющими конкретно изучать ее и даже прогнозиро­вать ее изменения. Поэтому «невозможно говорить об определен­ной вероятности преступления как о «незыблемой закономерно­сти*. Она меняется вместе с изменением условий. Но пока дей­ствуют данные определенные условия, действует и та или иная оп­ределенная вероятность. Это и дает возможность изучения этих явлений на основе методов математической статистики»¹. Если условия в си­лу определенных причин остаются неизменными, то в среднем ус­тойчиво и число преступлений, что позволяет установить вероят-. ность, с которой они совершаются. На этом, как отмечалось, ос­новано криминологическое прогнозирование. Обнаруживается за­кономерность: преступность уменьшается тогда, когда общество, государство активизируют свою борьбу с ней. Поэтому успешная реализация Программы социальных реформ в Российской Феде-

i Яхот О.О. Указ. соч. С. 84.

 

Глава №. Общие вопросы анализа и обобщения данных правовой статистики

рации на период 1996—2000 гг. и Федеральной целевой програм­мы по усилению борьбы с преступностью на 1996—1997 rrJ, на­правленных на активизацию государственных мер социального контроля над преступностью, также может изменить устойчивость этого соотношения благодаря вмешательству целого комплекса существенных социальных антикриминогенных факторов.