Неопределенности результата измерений

 

В случае однократных измерений ни о какой статистической обработке речь не идет, поэтому неопределенности типа А отсутствуют.

Для вычисления стандартной неопределенности по типу В используют ту же информацию, что и для выше рассмотренной погрешности измерений:

-данные предшествующих измерений величин, входящих в уравнение измерения;

-сведения о виде распределения вероятностей;

-данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;

-неопределенности констант и справочных данных;

-данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о СИ и т.п.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от её оценки.

Оценки дисперсии u²_В (X_i) или стандартной неопределенности u_В (X_i), в этом случае, определяют, основываясь на всей доступной информации о возможном распределении отсчетов X_i.

Для удобства обмена информацией оценки u²_В (X_i) и u_В (X_i) называют соответственно дисперсией типа В и стандартной неопределенностью типа В.

Возможны следующие ситуации, связанные со способом представления исходной информации [24].

1).Информация берется из спецификации изготовителя, свидетельства о поверке, справочника или другого источника, и ее неопределенность определяется как значение кратное стандартному отклонению (cреднее квадратическое отклонение). Стандартную неопределенность можно принять равной указанному значению неопределенности, деленному на коэффициент кратности. Оцененная дисперсия u²_В(X _i) будет равна квадрату этого частного.

 

Пример11. В свидетельство о калибровке указано, что масса m_s эталона из нержавеющей стали с номинальным значением 1 килограмм составляет 1000,000325 г и что «неопределенность этого значения равняется 240 мкг на уровне трех стандартных отклонений». Тогда стандартная неопределенность эталона массы равна u_В (m_s) =240/3=80 мкг. Оцененная дисперсия u²_В (m_s) = 80² = 6400 мкг ².

 

2).Значение неопределенности ограничено интервалом, имеющим уровень доверия 90%, 95% или 99%. Если не указано другого, то можно предположить, что использовалось нормальное распределение для вычисления упомянутой неопределенности. Стандартную неопределенность, получают делением приведенной неопределенности на соответствующий коэффициент для нормального распределения. Для указанных выше доверительных уровней они, соответственно, равны: 1,64; 1,96 и 2,58.

Пример 12. Согласно свидетельству о калибровке сопротивление эталонного резистора R_s с номинальным значением 10 Ом равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм при 23⁰ С и уровне доверия 99%. Стандартную неопределенность резистора можно принять как u_В (R_s) = 129 /2,58 = 50 мкОм. Оцененная дисперсия - u²_В(R_s) = 50² = 2500 мкОм ².

3).Информация состоит в том, что с вероятностью «пятьдесят на пятьдесят» значение входной величины Х _i находится в интервале от -а до +а (другими словами, вероятность нахождения Х _i в этом интервале составляет 0,5 или 50 %). В предположении, что распределение возможных значений Х _i приблизительно нормальное, в качестве наилучшей оценки величины Х _i можно принять среднюю точку этого интервала μ. Так как для нормального распределения с ожиданием μ интервал μ ± σ /1,48 охватывает приблизительно 50 процентов распределения, то можно принять u_В (X _i) = 1,48·а.

Пример 13. Станочник, определяющий размеры детали, оценивает, что ее длина находится, с вероятностью 0,5, в интервале от 10,07 мм до 10,15 мм (l = (10,11±0,04) мм). Принимаем а = 0,04 мм и нормальное распределение для возможных значений l. Стандартная неопределенность длины составит u_В(l) = 1,48 · 0,04 = 0,06 мм и оцененная дисперсия u²_В(l) = 0,06² = 3,6 · 10-3 мм².

 

4).Определены только границы от а до b (верхний и нижний пределы) для Х _i и нет конкретных сведений о возможных значениях X, внутри интервала. Можно предположить, что с одинаковой вероятностью X может находиться в любом месте в пределах интервала (равномерное или прямоугольное распределение возможных значений). Тогда ожидаемое значение X, является средней точкой интервала X _i = (а+b) / 2 с соответствующей дисперсией u²_В (X _i)=(b-a)² /12.

Если a=-b, то уравнение принимает вид u²_B (X _i)=а²/3.

Пример 14. Справочник дает значения температурного коэффициента линейного расширения чистотой меди при 20⁰ С α₂₀(Cu) = 16,52 · 10^{-6 0}С^-1 и просто утверждает, что «погрешность этого значения не должна превышать 0,40 · 10^{-6 0}С^-1». Основываясь на такой ограниченной информации, можно только предположить, что значение α₂₀(Cu) находится с равной вероятностью в интервале от 16,12 · 10^{-6 0}С^-1 до 16,92 · 10^{-6 0}С^-1 и что очень маловероятно, чтобы α₂₀(Cu) находится за пределами этого интервала. Дисперсия этого симметричного прямоугольного распределения возможных значений α₂₀(Cu) с полушириной а =0,40 · 10^{-6 0}С^-1 будет равна u²_В(α₂₀) = (0,40 · 10^-6)² /3 = 53,3 · 10^{-15 0} С ^-2. Стандартная неопределенность - u_В(α₂₀) =0,40· 10^-6 / √3 = 0,23 ·10^{-6 0}С^-1.

 

Для вычислений используют следующие формулы.

Суммарная стандартная неопределенность, оцениваемая по типу В

(25)

m – число неопределенностей, оцененных по типу В.

Характеристикой границ неопределенности значения величины является расширенная неопределенность. Для однократных измерений

U (P) = k_о · u_c,B, (26)

где k_o - коэффициент охвата (коэффициент, используемый как множитель суммарной неопределенности для получения расширенной неопределенности). Если нет других соображений, значение коэффициента охвата для доверительной вероятности Р = 0,95 считают равным 2, для доверительной вероятности Р = 0,99 - равным 3 [17].

Пример 15. Для задачи, рассмотренной в примере 10, вычислить расширенную неопределенность.

1.Находим стандартную неопределенность типа В по формуле 25

2.При отсутствии неопределенности типа А, расширенная неопределенность будет равна (формула 26)

U(P) = k₀ · u_c,B = 2· 0,016 = 0,032 B,

где k₀ = 2 при доверительной вероятности Р =0,95.