Создание условий для измерений

Каждое измерение выполняется в определенных условиях, которые характеризуются одной или несколькими величинами, часто оказывающими заметное влияние на измеряемую величину и используемые средства измерений, – их называют влияющими величинами. Например, для характеристики условий измерения размера детали штангенциркулем используют такие влияющие величины, как температура окружающего воздуха, освещенность поверхности детали и штангенциркуля. В наибольшей степени в рассматриваемом случае на результат измерения может оказать влияние температура, точнее изменение линейных размеров детали вследствие воздействия на нее температуры окружающей среды. Освещенность также влияет на результат измерения: при недостаточной освещенности оператор может неточно определить совпадение штрихов на основной шкале и шкале нониуса.

Влияющие величины можно разделить на четыре группы:

-климатические (температура окружающей среды, относительная влажность воздуха, атмосферное давление);

-электрические и магнитные (колебания силы электрического тока, напряжения в электрической сети, постоянные и переменные магнитные поля и др.);

-внешние нагрузки (вибрации, ударные нагрузки, внешние касания деталей прибора);

-ионизирующие излучения, газовый состав атмосферы и т.д.

Зависимость метрологических характеристик от значений влияющих величин для различных средств измерения проявляется в разной степени. Если она слабая, то метрологические характеристики средств измерения нормируют для рабочих условий применения. Если сильная, то для средств измерений нормируют основную погрешность, соответствующую нормальным условиям их применения, и дополнительную погрешность, которая появляется в случае отличия условий измерений от нормальных. Формулы для вычисления дополнительных погрешностей приводятся в паспортах средств измерений в виде номинальных функций влияния.

Таким образом, нормальные условия – это условия применения средств измерений, при которых изменением их метрологических характеристик вследствие изменения значений влияющих величин можно пренебречь. Нормальные условия характеризуются допустимыми границами изменения влияющих величин, которые называются пределами нормальной области значений влияющих величин. Эти пределы задают в виде номинального значения влияющей величины и допустимых отклонений. В таблице 7 приведены номинальные значения часто принимаемых во внимание влияющих величин.

При выполнении измерений трудно строго поддерживать номинальные значения влияющих величин. Следовательно, необходимо установить пределы возможных изменений для каждой влияющей величины – их называют пределами нормальной области значений.

Таблица 7

Влияющая величина	Значение
1.Температура для всех видов измерений, ⁰С (К)	20 (293)
2. Давление окружающего воздуха для ионизирующих измерений, теплофизических, температурных, магнитных, электрических, измерений, измерения давления и параметров движения, кПа (мм рт. ст.)	100 (750)
3. Давление окружающего воздуха для линейных, угловых измерений, измерений массы и др. кроме п.2, кПа (мм рт. ст.)	101,3 (760)
4.Относительная влажность воздуха для линейных, угловых измерений, измерений массы, %
5. Относительная влажность воздуха при измерении электрического сопротивления, %
6. Относительная влажность воздуха для измерений температуры, силы, твердости, переменного электрического тока, ионизирующих излучений, параметров движения, %
7. Относительная влажность воздуха для всех видов измерений, кроме указанных в п. 4 –6, %
8.Плотность воздуха, кг/м²	1,2
9.Ускорение свободного падения, м/с²	9,8
10.Магнитная индукция и напряженность электростатического поля для измерения параметров движения, электрических и магнитных величин
11..Магнитная индукция и напряженность электростатического поля для всех видов измерений, кроме указанных в п. 10	Соответствует характеристикам поля Земли в данном географическом районе
12.Частота питающей сети переменного тока, Гц	50 (±1%)
13.Среднеквадратическое значение напряжения питающей сети переменного тока, В	220 (±10%)

При точных измерениях для поддержания нормальных условий применяют специальные средства защиты от воздействия влияющих величин. Так, влияние температуры исключают путем термостатирования. Термостатировать можно части измерительной

аппаратуры (катушки сопротивления, нормальные элементы и др.), средства измерений, большие помещения (цеха, лаборатории), небольшие комнаты, камеры. Термостатирование может быть естественным (например, использование подвалов, бункеров) и искусственным (применение электрических подогревателей, кондиционеров, холодильников).

С целью устранения вибраций и сотрясений применяют амортизаторы – эластичные подвесы (струны, пружины), губчатую резину и т.д.

Средством защиты от влияния магнитного поля земли служат экраны из магнитно-мягких материалов. Чтобы уменьшить влияние атмосферного давления и влажности, применяют барокамеры. Средства измерений располагают так, чтобы они не влияли друг на друга.

В случаях, когда обеспечить нормальные условия невозможно (например, измерения в открытом пространстве), устанавливают менее жесткие условия выполнения измерений, называемые рабочими условиями. Рабочие условия измерений - условия измерений, при которых значения влияющих величин находятся в пределах рабочих областей. Рабочая область значений влияющей величины - область значений влияющей величины, в пределах которой нормируют дополнительную погрешность или изменение показаний средства измерений.

Для сопоставления результатов измерений, полученных в разных рабочих условиях, их приводят к нормальным условиям, для чего фиксируют действительные значения влияющих величин или их пределы.

Средства регистрации значений влияющих величин выбирают так, чтобы погрешность их была пренебрежимо мала по сравнению с изменением значения влияющей величины.

При воздействии на измеряемую величину нескольких влияющих величин учитывают вес каждой составляющей.

Порядок расчета инструментальной погрешности с учетом отклонения влияющих величин от нормальных значений рассмотрен ранее (пример 5).

Многократные измерения.

Многократное измерение – определение значения величины путем математической обработки совокупности последовательно выполненных отсчетов показаний средств измерений. Для того, чтобы можно было применить формулы математической статистики число отсчетов должно быть не меньше четырех. Положительной стороной такого подхода является то, что при этом учитываются все случайные погрешности вне зависимости от их происхождения. Поэтому важно не допустить двойного счета случайных погрешностей, когда, например, характеристики случайной погрешности используются для вычисления погрешности средства измерений или неопределенности типа В.

Многократное измерение целесообразно производить при доминирующей случайной составляющей погрешности измерений (неопределенности типа А). Повышение точности результата многократного измерения достигается вследствие уменьшения оценки погрешности (неопределенности типа А) среднего арифметического значения совокупности наблюдений при увеличении числа отсчетов.

Выполнение многократного измерения предполагает повышенные требования к стабильности измеряемой величины, к поддержанию неизменными значений влияющих величин, к квалификации оператора, к периодичности выполнения отсчетов. Затраты времени на измерения и обработку результатов значительны. Поэтому решение о использовании многократного измерения должно быть технически и экономически обосновано.

Многократные измерения в большой мере являются лабораторными измерениями и делятся на равноточные и неравноточные измерения. Остановимся на равноточных измерениях. (Примеры обработки рядов неравноточных измерений приведены в книгах [2, 9, 26, 28]).

Равноточными называют измерения, которые выполняют средствами измерений одинаковой точности (одним и тем же средством измерений), по одной и той же методике, одним и тем же оператором и при неизменных внешних условиях. Интервалы между отсчетами должны быть минимальными.

Исходной информацией для обработки является ряд отсчетов показаний средства измерений x₁, x₂, …, x_n (n – число наблюдений, отсчетов), в который внесены поправки на известные систематические эффекты. При этом предполагается, что после внесения поправки математическое ожидание или ожидаемое значение погрешности, возникающей от систематического эффекта, равно нулю.

Для выявления переменной систематической погрешности строят точечную диаграмму: по оси абсцисс откладывают порядковый номер наблюдения, а по оси ординат измеренное значение величины. О наличии такой погрешности будет свидетельствовать общая тенденция графической интерпретации результатов наблюдений к возрастанию или убыванию. Наличие переменной систематической погрешности может быть установлено статистическими методами (методы Аббе, Фишера, Вилкоксона, и др. См., например, книги [16, 26]).

Для удобства обработки результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания. Полученный таким образом ряд значений называют вариационным рядом (упорядоченная выборка).

Рассмотрим ситуации, в которых реализуются многократные измерения.

Ситуация 1: измерения выполняют для экспериментального установления закона распределения результатов измерений при использовании конкретной методики или средства измерений. Для получения достоверных представлений о законе распределения минимальное число отсчетов начинается с n>200 и чем оно больше, тем лучше [4]. При меньшем объеме (n=20…200) особенности распределения оказываются замаскированными случайностью самой выборки [15].

Математическая обработка статистических данных включает следующие этапы.

1.Определяют центр распределения X_ЦР, в качестве которого могут рассматриваться: среднее арифметическое, среднее арифметическое для усеченной выборки, медиана, центр размаха и центр срединного размаха.

Приведем формулы для вычисления перечисленных характеристик [2].

Среднее арифметическое значение

Среднее арифметическое для усеченной выборки

где β∙n ≤ l ≤ β∙n+1 (β принимают равной 0,05 или 0,1). Здесь l – отсекаемое число членов ряда отсчетов (справа и слева), расположенных в порядке возрастания (так называемый вариационный ряд).

Медиана Ме (значение случайной величины, при котором P(X<Me) = P(X>Me =0,5):

если n четное

Me=0,5 (x_n_/2 + x_n_/2+1)

если n нечетное

Me=x ₍_n_+1)/2

Центр размаха

X_R=(x₁+x_n)/2

Центр срединного размаха

-если n кратно 4

X_R₂=0,5 (x_n_/4+1 + x₃_n_/4)

-если n четное

X_R₂=0,5 (x₍_n_+2).4 + x₍₃_n_+2)/4)

-если (n-1) кратно 4

X_R₂=0,5 (x₍_n_-1)/4+1 + x₍₃_n_+1)/4)

-если (n+1) кратно 4

X_R₂=0,5 (x₍_n_+1)/4+1 + x₍₃_n_-1)/4)

Наиболее эффективная оценка центра распределения X_ЦР определяется по значению контрэксцесса κ (см. ниже). Таковой является медиана при 0<κ<0,45; среднее арифметическое или среднее арифметическое для усеченной выборки при 0,45 ≤ κ <0,67; центр размаха или центр срединного размаха при 0,67 ≤ κ <1,0.

2.Находят значения центральных моментов распределения (с первого по четвертый)

где r – порядковый номер момента.

3.Вычисляют несмещенную оценку среднего квадратического отклонения

4.Определяют параметры островершинности распределения.

Эксцесс

Э=μ₄/S⁴.

Коэффициент эксцесса

γ_Э=Э – 3

Контрэксцесс

κ=1/√Э (0<κ<1)

5.Исключают из ряда наблюдений отсчеты (промахи), выходящие за границы

После чего выполняют вычисления по пунктам 1 – 4.

6.Находят параметры асимметрии распределения.

Коэффициент асимметрии

γ_а=μ₃/S³.

Среднее квадратическое отклонение коэффициента асимметрии

(здесь и ниже n – уточненное значение, без отсчетов, отнесенных к промахам).

Распределение симметрично, если ‌‌‌| γ_а |≤ 1,5∙S(γ_а).

7.Определяют показатель формы распределения а в зависимости от эксцесса по графику (рис.7)

0,6

Рис. 7.

8.Строят гистограмму и полигон распределения

а) диапазон x_min… x_max разбивают на интервалы. Число интервалов принимают нечетным, ближайшим большим к значению

m=(4/κ)∙lg(n/10).

Здесь κ – контрэксцесс (см. выше пункт 4).

Так при n = 40 … 100 число интервалов будет равно 7 или 9.

Ширина интервала d= (x_max - x_min)/ m.

Для определения числа интервалов применимы также формулы

m=√n, m=1+3,31∙lg n, а также рекомендации, приведенные в ГОСТ 8.207 и книгах [2, 4, 26].

б) подсчитывают число n_k значений отсчетов в каждом k- ом интервале и рассчитывают частости попадания

p _k = n_k / n;

в) строят гистограмму - зависимость частости попадания в интервал от величины x (ступенчатая фигура на рисунке 8а) и полигон (совокупность отрезков, соединяющих середины прямоугольников) распределения,а также кумулятивную функцию (рис. 8б)

p_k

F_k

а)

б)

Δ x

Рис. 8. Гистограмма, полигон распределения (фиг. а) и кумулятивная функция результатов измерения (фиг. б).

9.Определяют информационные характеристики распределения.

Энтропийное значение

Энтропийный коэффициент, определяющий форму вершины распределения

К=Δ_Э/S.

На основе сопоставления полигона распределения с графиками теоретических законов распределения (приводятся в книгах [2, 15, 29 ]), а также сравнения оценок вычисленных и табличных параметров и характеристик делают предположение о соответствии полигона какому-либо теоретическому закону. Указанное соответствие проверяется с помощью критериев согласия: Пирсона (χ²) или ω² – критерия.

Вопросы идентификации распределения вероятностей при решении измерительных задач рассмотрены в МИ 2916 – 2005 и в книге [2]. Там же можно найти числовые примеры решения рассмотренной задачи.

Ситуация 2. Требуется оценить значение измеряемой величины и доверительного интервала, в котором оно находится. Закон распределения и/или среднее квадратическое отклонение S известны. Такое возможно, если, например, в паспорте средства измерений выделены характеристики случайной составляющей погрешности. Знание закона распределения позволяет обоснованно выбрать формулы для определения центра распределения (оценки значения величины) и доверительные границы случайной погрешности.

Решение задачи следует начать с вычисления суммарного значения неисключенной систематической погрешности Θ по формулам (18) или (19).

Требуемое количество отсчетов устанавливают из условия достижения заданной точности измерений (соотношение 14) или исходя из критерия ничтожной погрешности [4].

Обозначим буквой [q] допустимую ошибку вычисления суммарной погрешности из-за пренебрежения случайной составляющей. Критерий ничтожной случайной погрешности запишем в виде

Полагая, что q²<< 2q, найдем

В книге [4] принято значение [q]=0,05 (5%). Для этого случая справедливо n_max= 27 / (Θ/S)². Уменьшение [q] до 0,005 приведет к увеличению n _max более чем в 10 раз. Подставив [q]=0,022 (2,2%), получим n_max= 65 / (Θ/S)², что соответствует формуле, приведенной в книге [25].

За пределом n _max случайная составляющая погрешности становится пренебрежимо малой. Значение n _max < 4 – повод для сомнения в целесообразности многократного измерения.

При достижении в процессе измерений n=n _max суммарную погрешность оценивают только границами неисключенной систематической погрешности Θ(Р).

По экономическим или техническим причинам достижение n_max может быть не целесообразным или не возможным. Тогда для расчета суммарной погрешности оценки значения величины реализуют следующий порядок.

Устанавливают доверительные границы случайной погрешности

(27)

где t - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и установленного теоретического закона распределения.

Если априорные сведения указывают нормальное распределение, а число отсчетов n<30, то вместо нормального закона применяют распределение Стьюдента.

Определяют границы погрешности измерений

(здесь Θ _j - граница неисключенной систематической составляющей погрешности измерений, m – число неисключенных систематических погрешностей).

Коэффициент k _n равен

Результат измерения записывают в виде: ; P.

Если в качестве характеристики результата измерения принята расширенная неопределенность, то формула для вычисления максимального числа отсчетов запишется так

Здесь u_A=S – стандартная неопределенность отдельного отсчета.

Значение стандартной неопределенности типа В вычисляют по формулам (18) и (19).

Расширенную неопределенность в соответствии с рекомендациями [21, 24] находим по формуле

U(P)= k_o∙ u_C (30)

где – суммарная стандартная неопределенность.

Стандартная неопределенность типа А есть среднее квадратическое отклонение оценки среднего арифметического значения величины (центра группирования)

Закон распределения, характеристикой которого является суммарная стандартная неопределенность, есть композиция законов распределения неопределенностей типа А и В. Его идентификация - не простая задача. Поэтому выбор коэффициента охвата k ₀ зачастую базируется на предположении о возможном распределении.

В общем случае [24] коэффициент охвата k₀ определяют как

k₀ = t_p (ν _eff) (65)

где t_p (ν _eff) – квантиль распределения Стьюдента (таблица 8) с эффективным числом степеней свободы ν _eff и доверительной вероятностью (уровнем доверия) P.

Эффективное число степеней свободы вычисляют по формуле

где ν = n – 1 – число степеней свободы.

Таблица 8. Значение коэффициента t_p(ν) для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с ν степенями свободы и заданной вероятности P

ν	р = 0,95	р = 0,99	ν	р = 0,95	р = 0,99
	3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,179 2,145	5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,055 2,977	∞	2,120 2,101 2,086 2,074 2,064 2,056 2,048 2,042 1,960	2,921 2,878 2,845 2,819 2,797 2,779 2,763 2,750 2,576

В Руководстве [24] отмечается, что во многих практических случаях концепция нормального закона распределения является адекватным подходом. В предположении нормального закона распределения при Р =0,95 принимают k ₀ = 2, при Р =0,99 k ₀ = 3. Для равномерного закона распределения - при Р =0,95 k ₀ = 1,65; при Р =0,99 k ₀ = 1,71.

Ситуация 3. Требуется оценить значение измеряемой величины и доверительного интервала, в котором оно находится. Закон распределения не известен.

Для решения вопроса об объеме статистической обработки следует сравнить сумму неисключенных систематических погрешностей Θ с размахом R (размах – разность наибольшего и наименьшего спектральных значений случайной величины). В предположении закона равной вероятности при выполнении условия случайной составляющей погрешности (стандартной неопределенностью типа А) можно пренебречь. Достаточно вычислить среднее арифметическое значение. Если условие не выполняется, реализуем следующий алгоритм.

1.В качестве оценки значения измеряемой величины принимают среднее арифметическое значение , являющееся в большинстве случаев наилучшей доступной оценкой математического ожидания или ожидаемого значения величины, изменяющейся случайном образом

2.Вычисляют статистическое среднее квадратическое отклонение (стандартная неопределенность типа А для единичного наблюдения)

3.Исключают результаты с грубыми погрешностями или промахами с помощью критериев «трех сигм», Романовского (при 20), Шарлье (n> 20), или других (Диксона, Граббса, Шовене). Описание и примеры применения перечисленных критериев приведены в книгах [2, 9, 26 и др.]. В частности к промахам относят значения отсчетов, выходящие за границы

Значение коэффициента t зависит от принятой вероятности P и критерия оценки промахов. При неизвестном законе распределения часто применяют неравенство Чебышева, согласно которому

При Р = 0,95 получим t = 4,48.

4.Повторно вычисляют значения и S для n’, (n’ - число наблюдений за вычетом промахов). Исходя из соотношения суммы неисключенных систематических погрешностей Θ и среднего квадратического отклонения единичного наблюдения S (с.102), решают вопрос о увеличении числа наблюдений или о необходимости учета случайной составляющей погрешности.

5.При ограниченном числе наблюдений и существенном S вычисляют среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения (стандартную неопределенность типа А)

6.Результаты измерений представляют графически в виде гистограммы и полигона распределения.

7.Согласно ГОСТ 8.207 далее проверяют соответствие экспериментального распределения нормальному закону. При 15< n <50 рекомендуется использовать составной критерий, при n>50 критерий Пирсона или Мизеса-Смирнова. При n≤15 принадлежность к нормальному закону не проверяют.

Если соответствие нормальному закону не подтвердилось, то выдвигается гипотеза о возможном законе распределения. При ограниченном объеме выборки надежные критерии оценки правильности гипотезы отсутствуют. Поэтому на практике в этих случаях принимают нормальный закон (что ставит под сомнение необходимость действий по п.6 и 7) или распределение Стьюдента (при n<30). Одним из оснований для такого решения является утверждение [15], что закон распределения среднего арифметического при n>30 близок к нормальному при любом законе распределения исходных данных, если контрэксцесс не равен нулю (κ≠0). Однако сравнительно точное определение центрального момента четвертого порядка μ⁴ и связанного с ним контрэксцесса возможно при числе отсчетов более двухсот [28]. В данном случае точное знание контрэксцесса не требуется и о его неравенстве нулю можно судить по форме полигона распределения и характеристикам предполагаемого теоретического закона.

8.Вычисляют случайную и суммарную погрешности измерений по формулам (27)-(29).

Если результат многократного измерения предназначен для использования в расчетах (косвенные измерения), то статистическую обработку можно ограничить пунктами 1-5.

Вычисление суммарной стандартной неопределенности и расширенной неопределенности в ситуации 3 осуществляется более просто. После реализации пунктов 1 – 5 следует применить формулы и рекомендации, приведенные для случая 2.

Пример 16. При многократном измерении получены значения силы в Н 263, 268, 273, 265, 267, 261, 266, 264, 267. Систематическая погрешность равна +2 Н. Записать результат измерений с доверительной вероятностью Р=0,95.

1.Среднее арифметическое значение силы

С учетом поправки на систематическую погрешность оценка значения силы будет равна: F =266+(-2)=264 H.

2. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения силы

3.Так как закон распределения в исходных данных не определен, предполагаем, что рассеяние отсчетов подчиняется нормальному закону. С учетом того, что n=9 < 30 принимаем закон распределения Стьюдента.

4. Доверительные границы случайной погрешности

где t -квантиль распределения Стьюдента. При числе степеней свободы f _эфф = n – 1 = 9 – 1 = 8 и заданной вероятности Р=0,95 из таблицы 8 найдем t = t _P(f _эфф) = t _0,95(8) = 2,37.

5.Результат измерения F = (264 ± 3) H, Р = 0,95.

Подготовка оператора

Одной из составляющих суммарной погрешности измерений является личностная погрешность, вносимая оператором, которая в основном связывают с правильностью выполнения отсчета по шкале прибора. Однако на погрешность измерений могут повлиять действия оператора при подготовке и в процессе выполнения измерений.

При подготовке к измерениям оператору необходимо:

-ознакомиться с процедурой выполнения измерений и последовательностью операций, инструкциями по эксплуатации применяемых средств измерений, с требованиями методик измерений;

-убедиться в том, что средства, используемые для измерений и фиксирования значений влияющих величин прошли поверку и имеют действующие свидетельства о поверке или поверительное клеймо;

-выполнить работы по подготовке средств и объекта измерений к измерениям (например, прогреть измерительный прибор или объект измерений, проверить действие органов управления, заправить бумагу в самописец, произвести калибровку прибора и т.д.).

При проведении измерений оператор должен:

-соблюдать условия измерений и поддерживать их в заданном режиме;

-соблюдать технику безопасности при работе со средствами измерений или измерительными установками;

-занять удобное положение, не вызывающее быстрого утомления, с тем чтобы случайные неловкие движения не привели к неудачным отсчетам или порче средств измерений;

-не допускать перерывов в проведении отсчетов, если указано, что отсчеты должны выполняться непрерывно;

-вести тщательную запись отсчетов, указывая при этом дату и интервал времени, регистрировать отсчеты в той форме, в которой они получены;

-вести запись с числом цифр на две более, чем требуется в окончательном результате;

-определить возможные источники систематических погрешностей и методы их исключения.

Качество работы оператора определяется погрешностью округления при снятии отсчетов и погрешностью наведения. Погрешность округления не должна влиять на последнюю значащую цифру погрешности окончательного результата измерения. Как правило, она не должна превышать 10% от допускаемой погрешности окончательного результата измерений. Если это условие оператором не выполняется, то число отсчетов увеличивают на столько, чтобы условие было удовлетворено.

Если погрешность оператора при совмещении штрихов, фиксации звуковых сигналов и т.п. систематическая, ее следует выявить, а поправку внести в результаты измерений. Если же это сделать невозможно или же систематическая составляющая погрешности измерений, вносимая оператором, изменяется, измерения выполняют 3-4 оператора. В этом случае систематическая погрешность рассматривается как случайная величина.

Проблемы, связанные с отсчетом показаний, можно устранить заменой аналоговых средств измерений на цифровые. Однако это не всегда приемлемо, так как аналоговые приборы считаются более информативными.

При оценке значения величины по шкале прибора необходимо учитывать, что число делений шкалы согласовано с его классом точности. При определении визуально долей деления шкалы операторы допускают ошибку до 0,2 (0,5) деления. По этой причине рекомендуется [9] отсчет выполнять с округлением до половины деления.