Определение месторасположения склада

Для решения одной из фундаментальных логистических задач-определения месторасположения распределительного склада в регионе необходимо знать:

· месторасположение (координаты x_i, y_i) фирм-производителей и потребителей (клиентов) данной продукции;

· объемы поставок продукции (Q_i);

· маршруты доставки (характеристику транспортной сети);

· затраты (или тарифы) на транспортные услуги (T_i).

В зависимости от выбранного критерия оптимизации и учета расстояний между поставщиками, потребителями и складом рассматриваются следующие типовые случаи.

Первый вариант [25 и др.]. Месторасположение распределительного склада определяется в виде координат центра тяжести грузовых потоков по формулам:

, (8.1)

, (8.2)

где: A_x, A_y - координаты распределительного склада, км;

Q_i - объем (вес) груза, т;

x_i y_i - соответственно расстояние от начала осей координат до расположения поставщика или клиента, км.

Второй вариант [20]. Месторасположение склада определяется как «центр равновесной системы транспортных затрат». Расчет координат склада производится по формулам:

, (8.3)

, (8.4)

где T_i - транспортный тариф для i-го поставщика или потребителя (клиента), руб.\т.км.

Суммирование в формулах (8.1) - (8.4) производится от i = 1 до m, где m- общее количество поставщиков и потребителей.

Очевидно, что при T_i =const., формулы (8.1), (8.2) и (8.3), (8.4) совпадают.

С другой стороны, транспортные тарифы T_i в формуле (8.3), (8.4) играют роль весовых коэффициентов, которые могут принимать различные значения и, следовательно, расширяют возможности учета различных факторов по сравнению с формулами (8.1), (8.2). Однако, не следует забывать, что тарифы функционально связаны с грузооборотом (т.км) и объемом перевозок (т), поэтому их упрощенный учет в расчетных зависимостях требует дополнительного обоснования, либо введения более сложных зависимостей.

Рассмотрим пример расчета координат склада по первому и второму вариантам. Исходные данные о координатах расположения поставщиков П_i и клиентов К_i приведены в табл.8.1; также представлены вспомогательные расчеты. При подстановке значений в формулы (8.1),(8.2) находим

А_x = км,

A_y = км.

Второй вариант расчета, формулы (8.3), (8.4) дает

А_x = км,

A_y = км.

Приведенные на рис.8.1 местоположение складов показывают, что в данном конкретном случае их координаты различаются незначительно.

Таблица 8.1

Определение координат склада

Исходные данные	По формулам (8.1), (8.2)	По формулам (8.3), (8.4)
x_i	y_i	T_i	Q_i	x_iQ_i	y_iQ_i	T_ix_iQ_i	T_iQ_i	T_iy_iQ_i
		0,8
		0,5
		0,6





Суммы

Рис.8.1 Расположение поставщиков П, клиентов К и складов: С₁ - первый вариант; С₂ - второй вариант.

Третий вариант [23, 28]. Координаты склада определяются исходя из условия, что сумма расстояний от данных точек m с учетом спроса Q_i до точки (x,y)- координат склада- была минимальной. Целевая функция записывается в виде:

(8.5)

где a_i, b_i - координаты i-го поставщика или потребителя.

Принципиальное отличие третьего варианта заключается в том, что, во-первых, он сформулирован как классическая оптимизационная задача, во-вторых, расстояние между складом и другими объектами определяется как «гипотенуза», тогда как в задачах первом и втором вариантах рассматриваются расстояния по осям X и Y.

Для нахождения координат склада используется аналитический метод, согласно которому на первом этапе определяется система из 2-х уравнений в виде частных производных функций P (x,y).

; (8.6)

Поскольку решение данной системы затруднено, на втором этапе используется итерационный метод. Так первое приближение для x⁽¹⁾ рассчитывается по формуле:

(8.7)

Входящее в формулу определяется из уравнения

(8.8)

На третьем этапе значения x⁽¹⁾ подставляется во второе уравнение системы (8.6) для частной производной по Y и находится первое приближение для y⁽¹⁾. Затем y⁽¹⁾ подставляется в уравнение для частной производной по X и находится второе приближение x⁽²⁾ и т.д. до тех пор, пока разница итераций P⁽^k) (x,y) и P⁽^k+1) (x,y) не станет меньше достаточно малого положительного числа E.

Однако, попытка использовать описанный итерационный метод решения наталкивается на такие же трудности, как и аналитическое решение системы (8.6). Это нетрудно показать на следующем примере. Запишем в явном в виде первое уравнение системы (8.9).

(8.9)

Допустим, что m=2, ax⁽¹⁾ рассчитано по формуле (8.7)

Тогда, для нахождения y⁽¹⁾ надо решить уравнение:

(8.10)

После преобразований получим кубическое уравнение для определения y⁽¹⁾: очевидно, что с увеличением m расчетные формулы усложняются, следовательно, использование итерационного подхода не упрощает поиск координат склада.

Рассмотрим подход, основанный на непосредственном поиске минимума функции (8.5). Исходные данные для расчетов приведена в табл.8.1.

Для примера рассчитаем величину транспортной работы при перевозках от производителей на склад и со склада клиентам, выбрав в качестве координат склада следующие значения:

x₁=250 км, y₁ = 425 км. Тогда по формуле (8.5) для первого поставщика (а₁ = 300 км, в₁ = 575 км) находим:

т.км.

Результаты расчетов Р(x₁, y₁) для всех поставщиков и клиентов приведены в табл. 8.2: Р(x₁, y₁)≈342 тыс.км

Таблица 8.2

Определение транспортной работы при координатах склада

х₁ = 250 км, у₁ = 425 км

Q_i, Т	Координаты, км	км	Q_iR_i, т.км.
a_i	b_i








Сумма

Расчеты были выполнены в виде трех блоков. В первый блок вошли расчеты для пяти точек (рис.8.2), координаты которых и результаты расчетов приведены в табл. 8.3.

Анализ результатов позволил выявить направление поиска координат склада (второй блок, три точки), изменив его вдоль координаты х = 300 км. Наконец, минимальное значение транспортной работы оказалось равным Р = 329950 т.км. (при принятом в расчетах шаге ∆ = 25 км), что соответствует координатам склада: х = 300 км; у = 500 км.

Рис.8.2 Графическая интерпретация поиска минимума функции P (x, y): 342(1) – транспортная работа в тыс.км (номер варианта расчета в табл.8.3)

Таблица 8.3

Определение координат склада (численный метод)

Расчетный блок	Вариант	Координаты склада	Р (х, у), т.км
х	у
I

3*


II


III	9**

Примечания: * вариант, соответствующий координатам «центра тяжести»; ** минимальное значение Р (х, у) из приведенных в таблице.

Следует подчеркнуть, что разница значений Р (х, у) между 6 и 7 вариантами составляет 0,46%, а между 9 и 7 – 0,1%. С одной стороны это затрудняет поиск минимума функции Р(х, у), с другой стороны говорит о том, что минимум Р(х, у) при заданном выражении целевой функции соответствует область значений, незначительно отличающихся друг от друга. Таким образом, с небольшой погрешностью координаты склада могут быть выбраны внутри этой области, что позволяет учесть всевозможные и часто противоречивые ограничения: административные, правовые и т.п.

Заметим, что для поиска минимума Р(х, у) можно воспользоваться ускоренным алгоритмом, суть которого сводится к итерационному процессу расчета координат склада по формулам:

, (8.11)

, (8.12)

где

(8.13)

Вывод зависимостей (8.11), (8.12) покажем на примере первой из них. За основу берутся частные производные dP(x, y)/dx и dP(x, y)/dy, см. формулу (8.6). После суммирования, находим

Решая уравнение относительно Х, получим формулу, представляющую собой итерационное выражение

(8.14)

Таблица 8.4

Определение координат склада (первая итерация ускоренного алгоритма)

Q_i	a_i	b_i	(a_i-300)²	(b_i-425)²	R_i	Q_i/R_i	Q_ia_i/R_i	Q_ib_i/R_i
						0,895		515,9
						3,333	999,9	1666,5
					305,2	0,491	270,3	294,6
						0,448	67,2	56,0
					127,5	0,588	161,8	176,4
					180,3	0,693	277,3	190,6
					385,6	0,262	131,0	26,2
						0,461	276,6	253,5
Суммы	7,171	2184,1	3179,9

Расчет начинается с первого шага при и , определяемых по формулам (8.1), (8.2) для координат «центра тяжести»

При подстановке х₀ = 300 км, у₀ = 425 км по формулам (8.11), (8.12), рассчитываем значения сумм (табл.8.4) и находим первое приближение:

= 303 км; = =440 км

Второе приближение для координат склада:

= 305 км; = 460 км

Транспортная работа для второй итерации:

Р(, ) = 330 900 т.км.

В заключение сопоставим варианты расчетов координат склада при использовании различных подходов, табл.8.5

Транспортная работа рассчитывалась по формуле (8.5), исходные данные для расчета приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.5