Пример прогноза количества контейнеров

Рассмотрим пример прогноза функции распределения вероятностей объема перевозок контейнеров для одного из клиентов АТП. Исходные данные о среднем количестве вывозимых контейнеров в месяц по годам приведены в табл.7.7 и на рис.7.8.

Определим коэффициенты уравнения тренда в виде

Q = а ₁ + а ₂ · t + а ₃· t ², (7.33)

где Q – среднемесячное количество контейнеров, шт;

а ₁, а ₂, а ₃ – искомые коэффициенты;

t = Т – Т ₀; Т – текущий год; Т ₀ – базовый год.

Для определения коэффициентов а_i воспользуемся методом наименьших квадратов, согласно которому расчет а_i производится по формулам:

, , .

Приведенные в формулах определители 3-го порядка записываются в виде:

, .

Суммирование в формулах определителей производится для всех значений i от 1 до N, где N – количество точек динамического ряда. В рассматриваемом примере N = 5.

Известно, что для расчета величины определителя 3-го порядка можно воспользоваться «правилом Саррюса»,[1] согласно которому к определителю приписываются два столбца; произведение элементов на диагоналях, идущих «слева-направо-вниз» берутся со знаком плюс, соответственно «справа-вниз» – со знаком минус, т.е.

а ₁₁ а ₁₂ а ₁₃ а ₁₁ а ₁₂

а ₂₁ а ₂₂ а ₂₃ а ₂₁ а ₂₂=

а ₃₁ а ₃₂ а ₃₃ а ₃₁ а ₃₂

- - - + + +

= а₁₁·а₂₂·а₃₃ + а₁₂·а₂₃·а₃₁ + а₁₃·а₂₁·а₃₂ – а₁₃·а₂₂·а₃₁ – а₁₁·а₂₃·а₃₂ – а₁₂·а₂₂·а₃₃

Рассчитаем величину определителя Δ₀. В табл.7.7 приведены результаты расчетов сумм, входящих в Δ₀. При подстановке их значений находим

269225 + 185625 + 185625 – 166375 –
–253125 – 220275 = 700

Проведя аналогичные расчеты, получим

Δ ₁ = 6720, Δ ₂ = 2950, Δ ₃ = 550.

Тогда величины искомых коэффициентов равны

а ₁ = 9,60; а ₂ = -4,21; а ₃ = 0,78.

Таким образом, уравнение (7.33) запишется в виде:

Q = 9,60 – 4,21·(Т -1997) + 0,78·(Т -1997)².

При подстановке Т =2003 г. находим прогнозное среднее значение среднемесячного количества контейнеров:

= 9,60 – 4,21·(2003 – 1997) + 0,78·(2003 – 1997)² = 12,46

Округлив, примем для 2003 г. =12 штук.

Помимо среднего значения прогноза рассчитывается среднее квадратическое отклонение σ_Q:

(7.34)

Подставляя значения суммы (см. табл.7.7), находим, s _Q= 0,72. Для дальнейших расчетов примем σ_Q = 1.

Таблица 7.7

Исходные данные и результаты расчета сумм для определения

коэффициентов уравнения тренда (7.33)

Год Т_i	Количество контейнеров (Q ^ф _i)	t_i^=* T_i-T₀	t ² _i	t ³ _i	t ⁴ _i	Q ^ф _it_i	Q ^ф _it ² _i	Q_i ^**	(Q ^ф _i - Q_i)²
								6,1	0,017
								4,3	0,490
								4,0	0,980
								5,2	0,578
								8,0	0,002
Суммы	Σ = 28	Σ t_i = 15	Σt²=55	Σ t³ = 225	Σ t⁴ = 979	Σ Qt = 89	Σ Qt ²=349		= 2,07
Примечание: * Т ₀ – базовый год, Т ₀ = 1997; ** Среднее значение при расчете по формуле (7.33)

На рис. 7.8. приведены исходные данные и результаты прогноза количества вывозимых контейнеров в 2003 г.

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Рис. 7.8. Динамика среднемесячного количества вывозимых контейнеров:1 – среднее значение прогноза на 2001 г.; 2 – интервальное значение прогноза (Q ± σ_Q)

Рассчитаем значения функций распределения прогнозируемого количества контейнеров F(Q) при условии, что она подчиняется нормальному закону

(7.35)

где Q_i – величина середины i -го интервала;

Например, для Q_i = 9 контейнеров, получим

Напомним, что

. (7.36)

Результаты расчетов F₁(Q_i) приведены в табл.7.8.

Таблица 7.8

Комбинированный прогноз вероятностей количества контейнеров

Количество контейнеров, Q_i, шт.	Прогноз вероятностей (по динамическому ряду) F (Q_i)	Экспертные оценки	Комбинированный прогноз вероятностей F ^(Q_i*)
Ранжированный ряд	Прогноз вероятностей F (Q _{э i})
	0,004		0,238	0,082
	0,054		0,286	0,131
	0,242		0,190	0,224
	0,398		0,143	0,312
	0,242		0,095	0,192
	0,054		0,043	0,050
Суммы	0,994		0,995*	0,991*
Примечание: погрешности расчета (Σ F(Q_i) < 1) связаны с тем, что учтены не все интервалы, а также из-за вычисления с округлением.

Для прогноза с помощью метода экспертного опроса составим ряд вероятного числа контейнеров. В качестве экспертов были привлечены пять менеджеров из автотранспортных и экспедиторских фирм. Наиболее предпочтительный вариант оценивался одним баллом, наименее – шестью баллами. Итоги опроса экспертов приведены в табл. 7.9.

С учетом суммы баллов присвоим новые ранжированные номера i каждому числу контейнеров (столбец 3, табл.7.8) и по формуле (7.30) рассчитаем соответствующие вероятности F(Q _э _i).

Например, для первой строки табл. 7.8 при i = 2 находим