Рассмотрим пример прогноза функции распределения вероятностей объема перевозок контейнеров для одного из клиентов АТП. Исходные данные о среднем количестве вывозимых контейнеров в месяц по годам приведены в табл.7.7 и на рис.7.8.
Определим коэффициенты уравнения тренда в виде
Q = а 1 + а 2 · t + а 3 · t 2, (7.33)
где Q – среднемесячное количество контейнеров, шт;
а 1, а 2, а 3 – искомые коэффициенты;
t = Т – Т 0; Т – текущий год; Т 0 – базовый год.
Для определения коэффициентов аi воспользуемся методом наименьших квадратов, согласно которому расчет аi производится по формулам:
, 
, 
.
Приведенные в формулах определители 3-го порядка записываются в виде:
, 
.
Суммирование в формулах определителей производится для всех значений i от 1 до N, где N – количество точек динамического ряда. В рассматриваемом примере N = 5.
Известно, что для расчета величины определителя 3-го порядка можно воспользоваться «правилом Саррюса»,[1] согласно которому к определителю приписываются два столбца; произведение элементов на диагоналях, идущих «слева-направо-вниз» берутся со знаком плюс, соответственно «справа-вниз» – со знаком минус, т.е.
а 11 а 12 а 13 а 11 а 12
а 21 а 22 а 23 а 21 а 22 =
а 31 а 32 а 33 а 31 а 32
- - - + + +
= а11·а22·а33 + а12·а23·а31 + а13·а21·а32 – а13·а22·а31 – а11·а23·а32 – а12·а22·а33
Рассчитаем величину определителя Δ0. В табл.7.7 приведены результаты расчетов сумм, входящих в Δ0. При подстановке их значений находим
269225 + 185625 + 185625 – 166375 –
–253125 – 220275 = 700
Проведя аналогичные расчеты, получим
Δ 1 = 6720, Δ 2 = 2950, Δ 3 = 550.
Тогда величины искомых коэффициентов равны
а 1 = 9,60; а 2 = -4,21; а 3 = 0,78.
Таким образом, уравнение (7.33) запишется в виде:
Q = 9,60 – 4,21·(Т -1997) + 0,78·(Т -1997)2.
При подстановке Т =2003 г. находим прогнозное среднее значение среднемесячного количества контейнеров:
= 9,60 – 4,21·(2003 – 1997) + 0,78·(2003 – 1997)2 = 12,46
Округлив, примем для 2003 г. =12 штук.
Помимо среднего значения прогноза рассчитывается среднее квадратическое отклонение σQ:
(7.34)
Подставляя значения суммы (см. табл.7.7), находим, s Q= 0,72. Для дальнейших расчетов примем σQ = 1.
Таблица 7.7
Исходные данные и результаты расчета сумм для определения
коэффициентов уравнения тренда (7.33)
| Год Тi | Количество контейнеров (Q ф i) | ti*= Ti-T0 | t 2 i | t 3 i | t 4 i | Q ф iti | Q ф it 2 i | Qi ** | (Q ф i - Qi)2 |
| 6,1 | 0,017 | ||||||||
| 4,3 | 0,490 | ||||||||
| 4,0 | 0,980 | ||||||||
| 5,2 | 0,578 | ||||||||
| 8,0 | 0,002 | ||||||||
| Суммы | Σ = 28 | Σ ti = 15 | Σt2=55 | Σ t3 = 225 | Σ t4 = 979 | Σ Qt = 89 | Σ Qt 2=349 |  = 2,07
| |
| Примечание: * Т 0 – базовый год, Т 0 = 1997; ** Среднее значение при расчете по формуле (7.33) |
На рис. 7.8. приведены исходные данные и результаты прогноза количества вывозимых контейнеров в 2003 г.
|
Рис. 7.8. Динамика среднемесячного количества вывозимых контейнеров:1 – среднее значение прогноза на 2001 г.; 2 – интервальное значение прогноза (Q ± σQ)
Рассчитаем значения функций распределения прогнозируемого количества контейнеров F(Q) при условии, что она подчиняется нормальному закону
(7.35)
где Qi – величина середины i -го интервала;
Например, для Qi = 9 контейнеров, получим
Напомним, что
. (7.36)
Результаты расчетов F1(Qi) приведены в табл.7.8.
Таблица 7.8
Комбинированный прогноз вероятностей количества контейнеров
| Количество контейнеров, Qi, шт. | Прогноз вероятностей (по динамическому ряду) F (Qi) | Экспертные оценки | Комбинированный прогноз вероятностей F *(Qi) | |
| Ранжированный ряд | Прогноз вероятностей F (Q э i ) | |||
| 0,004 | 0,238 | 0,082 | ||
| 0,054 | 0,286 | 0,131 | ||
| 0,242 | 0,190 | 0,224 | ||
| 0,398 | 0,143 | 0,312 | ||
| 0,242 | 0,095 | 0,192 | ||
| 0,054 | 0,043 | 0,050 | ||
| Суммы | 0,994 | 0,995* | 0,991* | |
| Примечание: погрешности расчета (Σ F(Qi) < 1) связаны с тем, что учтены не все интервалы, а также из-за вычисления с округлением. |
Для прогноза с помощью метода экспертного опроса составим ряд вероятного числа контейнеров. В качестве экспертов были привлечены пять менеджеров из автотранспортных и экспедиторских фирм. Наиболее предпочтительный вариант оценивался одним баллом, наименее – шестью баллами. Итоги опроса экспертов приведены в табл. 7.9.
С учетом суммы баллов присвоим новые ранжированные номера i каждому числу контейнеров (столбец 3, табл.7.8) и по формуле (7.30) рассчитаем соответствующие вероятности F(Q э i).
Например, для первой строки табл. 7.8 при i = 2 находим
для второй строки i = 1, F(Q э 1 ) = 0,286 и т.д.
Плотности распределения прогнозного количества контейнеров для двух вариантов приведены на рис. 7.9.
Рис. 7.9. Вероятности прогнозного количества вывозимых контейнеров
Рассчитаем статистические параметры экспертного прогноза с использованием формул для среднего значения
, (7.37)
и среднего квадратического отклонения
(7.38)
Так, подставляя данные табл. 7.8, находим
Qэ =9·0,238+10·0,286+11·0,190+12·0,143+13·0,095+14·0,043=10,65
По формуле (7.38) находим σQэ = 1,43.
Определим весовые коэффициенты комбинированного прогноза по формуле (7.31):
; 
Таблица 7.9
