Статистичний аналіз зв’язків

При розв’язуванні будь – якої задачі математичного моделювання виникає питання про визначення впливу однієї змінної на інші, а також про взаємозв’язок між змінними, задіяними в даній задачі. Розглянемо найпростіший випадок

х – незалежна змінна

у – залежна змінна

- функціональний зв'язок (простий)

Однак, при описанні складних фізичних процесів чи явищ зв’язки між змінними значно складніші і представляють собою складну функціональну залежність.

Для зручності складний взаємозв’язок між змінними апроксимують зо допомогою простих зв’язків певного степеня.

тобто згладжують деяку функціональну залежність.

Існують дві схеми зв’язків:

1.Звязок між випадковою змінною у і невипадковою змінною х. Такий зв'язок носить назву регресійна залежність.

2.Між двома величинами х і у. Зв'язок між ними називається кореляційна залежність.

Регресійний аналіз

Значення невипадкової змінної х наперед відомі. І в залежності від значення х змінна у набуває або не набуває випадкового значення. При регресійних зв’язках природу випадкової величини у можна пояснити двома причинами:

В ході проведених досліджень ми можемо допуститися деякої випадкової помилки вимірювань, а змінна х вимірюється без всяких помилок.

На значення випадкової змінної у можуть впливати суб’єктивні фактори незалежні від нас. А тому в результаті при кожному фіксованому значенні х значення залежної змінної у підлягає деякому випадковому розс.

При регресійному аналізі випадкова величина у представлена к сумі двох доданків: перший – невипадкова величина, другий – випадкова величина,

Кореляційний аналіз

х і у обидві випадкові величини; (х;у) – двохвимірна випадкова величина

- умовне математичне сподівання

Кореляційний аналіз – це сукупність методів, які дозволяють побудувати відповідну залежність між випадковими величинами х і у, знайти оцінку параметрів цієї залежності, оцінити точність обчислень і встановити степінь зв’язку між змінними.

Нехай заданий випадковий вектор (х;у) який набуває значення представлені у вигляді множини пар точок

Знайдемо:

Випадкова кореляція:

Парна кореляція:

Якщо за абсолютною величиною , то ми говоримо про те, що х і у езалежні між собою.

Якщо за абсолютною величиною 1, то у – випадкова величина, залежить від іншої випадкової величини х.

Лінійна регресія.

Часто зустрічаються випадки, коли одна з двох зв’язаних між собою величин розглядається як аргумент функціональної залежності. Тобто вивчається деяка змінна величина при конкретному значенні аргументу. Представимо таку залежність у вигляду аналогічного виразу, невідомими для якого є числові параметри.

Розглянемо спрощений випадок, коли в ході досліджень є тільки одна незалежна змінна х.

y=f(x;a;b)

Нехай маємо випадок лінійної регресії у=ах+b

Для знаходження параметрів a i b застосуємо відомий метод найменших квадратів. При проведенні досліджень зв’язків можлива поява випадкової помилки обчислень, тобто