Елементи теорії подібності

При моделюванні процесів, що протікають в пласті, нам не рідко буває важко розв’язати систему нелінійних диференціальних рівнянь, що описують процес, а інколи і скласти саму математичну модель.

Групують змінні величини у безрозмірні комплекси шляхом використання методу аналізу розмірностей, а потім одержують загальну функціональну залежність між цими комплексами. Графічну або аналітичну залежність встановлюють за допомогою експериментів з використанням фізичних моделей.

Щоб правильно перенести результати експерименту на натуральний процес, необхідно забезпечити їхню подібність. Систему законів, що дає можливість такого перенесення і називають теорією подібності.

Фізичні явища називають подібними, коли відповідні безрозмірні комплеси для них збігаються. Подібність буває геометрична, часова і фізична.

Геометрична подібність – подібність лінійних розмірів (довжина, діаметр)

Часова подібність: дотримується постійне відношення між подібними інтервалами часу в перебігу процесу, що має місце у двох системах (оригінал - модель)

Фізична подібність – це подібність процесів у подібні моменти часу, що забезпечує постійне відношення значень фізичних величин.

В теорії подібності саме безрозмірні комплекси визначають досліджувані явища і процеси, і представляють собою добутки цих величин в певних степенях. Такі комплекси називаються критеріями подібності. Залежно від ступеня відповідності параметрів моделі та оригіналу розрізняють такі види подібності:

Абсолютна подібність - вимагає повної тотожності станів і явищ в просторі та часі.

Повна подібність – це подібність тих явищ і процесів, що відбуваються у просторі і часі, яка достатньо повно відображає реальність.

Неповна подібність – дотримання подібності або в просторі або в часі.

Необмежена подібність – реалізується при деяких спрощених припущеннях, що приводить до неточностей і вимагають попередньої кількісної оцінки.

В основі теорії подібності лежать основні теореми теорії подібності за допомогою яких визначають основні умови переходу від моделі до оригіналу

Теоретичною основою для побудови оригіналу відповідної моделі є три основні теореми подібності. Перша і друга теореми одержані з припущення, що мова йде про явища, подібність яких наперед відома. Ці теореми встановлюють співвідношення між параметрам наперед відомих явищ, не вказуючи при цьому способів знаходження їх подібності.

Відповідь на це питання дає третя теорема подібності. Вона визначає необхідні і достатні умови подібності явищ і процесів.

Теорема 1:

Подібні явища і процеси протікають в геометрично подібних системах і мають рівні відповідні критерії подібності, що складені з узагальнених координат і параметрів.

Теорема 2:

Функціональна залежність між величинами, що характеризують процеси чи явища, може бути представлена у вигляді залежності між складеними з них критеріями подібності.

Узагальнені координати - це величини, що описують суть явища чи процесу, а їх кількість визначає число ступенів вільності.

Параметри – це величини, що характеризують окремі сторони явища та дію зовнішнього середовища.

Теорема 3:

Необхідною і достатньо умовою подібності двох явищ і процесів є їх відповідність одним і тим же рівнянням зв’язку і рівність критеріїв подібності.

Виходячи з того, що перше явище вважається вивченим, а друге належить до групи подібних першому, то повинно проходити в геометрично подібній системі і відповідати одному і тому ж рівнянню зв’язку.

При моделюванні явищ і процесів слід дотримуватися токої послідовності:

1) Вибирають набір параметрів, що описують процес, який досліджують.

2) Серед цих параметрів обираємо R основних параметрів і згідно теореми подібностей складаємо відповідну кількість незалежних критеріїв подібності.

3) Вибираємо параметри моделі так, щоб її критерії подібності були як в оригінала.

Контрольні запитання

1) Поняття безрозмірних і розмірних величин.

2) Основні і похідні величини

3) Поняття формули розмірностей.

4) Основна теорема теорії розмірностей

5) Поняття теорії подібності.

6) Геометрична, часова і фізична подібність.

7) Абсолютна, повна, неповна і необмежена подібності

8) 3 теореми подібності, їх суть

 

Лекція 3