Абсолютна величина числа і її властивості

Введення в математичний аналіз

Математичний аналіз (аналіз нескінченно малих) вивчає функції і їх узагальнення методом нескінченно малих величин.

У природі і техніці усюди спостерігаються рухи і процеси, що є проявом взаємодії між фізичними тілами або середовищами. Математичною моделлю рухів (тобто змінних величин) є функції, які виражають зміни одних величин зі зміною інших. Звідси слідує важливість математичного аналізу в прикладній математиці.

Основними розділами математичного аналізу є: диференціальне і інтегральне числення.

Дійсні числа

Поняття дійсних чисел було розглянуте раннє в розділі "Узагальнення поняття величини".

Сукупність раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел.

Ірраціональні числа представляються нескінченним неперіодичним десятковим дробом. Наприклад, числа =1,414213., π = 3,141592., е = 2,718281. - є ірраціональними числами.

В той час, як раціональні числа, тобто числа виду представляються нескінченним періодичним десятковим дробом. Наприклад, 2 = 2,(0) = 1,(9), 1/3 = 0,(3), 13/7 = 1,(857142).

Множина дійсних чисел або числова пряма позначаються як R = { r }. Відмітимо деякі властивості цієї нескінченної множини чисел.

Передусім, R усюди щільно і утворює числовий континуум. Числова пряма R "подібна" до геометричної прямої, тобто між числами з R і точками на прямій можна встановити взаємно однозначну відповідність зі збереженням впорядкованості. Найважливішою властивістю числової прямої є її безперервність. Саме ця безперервність лежить в основі математичного аналізу і складає основу теорії границь.

Відмітимо також і іншу особливість числової множини R, яка взагалі характерна для багатьох нескінченних множин. Розглянемо поняття потужності нескінченної множини R, це поняття еквівалентно поняттю кількості членів кінцевої множини. Потужності нескінченних множин можуть бути різними, наприклад, множина натуральних чисел N, яка є підмножиною дійсних чисел (N R) має потужність рахункової множини, тоді як R має потужність континуальної множини. Покажемо, що потужність числового відрізку від нуля до одиниці має таку ж потужність, як і уся пів нескінченна числова пряма (від нуля до плюс нескінченність), тобто частина по потужності дорівнює цілому. Проведемо наступні міркування. Виділимо на пів нескінченній числовій осі одиничний відрізок. Поставимо у взаємно однозначну відповідність точки одиничного відрізку ОА з точками пів нескінченної прямої, таким чином (див. рис 4.1):

Рис.4.1.

· початковій точці О піввісі Ox побудуємо одиничний відрізок OA під деяким кутом φ до півосі;

· проведемо перпендикуляр до числової осі з точки О;

· з кінця А одиничного відрізку OA проводиться лінія паралельна числовій осі;

· точку перетину цієї лінії з перпендикуляром позначимо як S і назвемо її проектором;

· проводиться промінь (довільним чином) з проектора S на числову піввісь. Він перетинає одиничний відрізок в точці М₁, а піввісь Ox в точці М.

Таким чином, встановлена взаємно-однозначна відповідність між точками одиничного відрізку ОА і точками півосі Ох. Кожній точці М₁ відрізку ОА за допомогою променя проектора відповідає точка М осі х, і навпаки. Точці О відрізу відповідає точка О вісі, а точка А відрізка відповідає нескінченно видалена точка осі. Отже потужність числової множині півосі дорівнює потужності числової підмножині одиничного відрізку.

Ці дві властивості множин дійсних чисел (властивість безперервності і властивість континуальності) дозволяють надалі проводити математичний аналіз безперервних змінних величин на будь-якому проміжку.

Помітимо, що кінцевий числовий відрізок еквівалентний по потужності одиничному відрізку, якщо зробити заміну змінною , .

Розглянемо далі деякі, числові множини, які часто використовуються.

 

Числові проміжки

Нехай a і b - два числа, причому a < b. Числовими проміжками називаються множина усіх дійсних чисел, що задовольняють нерівності:

1) a ≤ х ≤ b - відрізок (сегмент), позначення - [a, b]

різниця b - a називається довжиною відрізка;

2) a < х < b - інтервал, позначення - (a, b);

3) a ≤ х < b - півінтервал, позначення - [ a, b);

4) a < х ≤ b - півінтервал, позначення - (a, b ];

5) нескінченні інтервали

x ≤ b, (-∞, b ]; x < b, (-∞, b); x ≥ a, [ a, +∞); x > a, (a, +∞);

6) множина дійсних чисел -∞ < x <+∞), (-∞, +∞).

Числа a і b називаються відповідно лівим і правим кінцями цих проміжків.

Символи - ∞, +∞ не числа, а символічні позначення нескінченно видалених точок числової осі від початку 0 вліво та управо.

Абсолютна величина числа і її властивості

Абсолютна величина дійсного числа визначається наступним співвідношенням:

.