Характеристики поведінки функції

1. Функція у = f(х), визначена на множині Х, називається обмеженою на цій множині, якщо існує таке число М > 0, що для усіх х Х виконується нерівність

| f (х) | ≤ M. Звідси витікає, що графік обмеженої функції розташований між прямими у = М і у = - М.

2. Нехай функція у = f(х), визначена на множині Х, тоді якщо для будь-яких двох значень х₁, х₂ Х аргументів з нерівності х₁< х₂ слідує нерівність:

1) f(х₁) < f(х₂), те функція називається зростаючою на множині Х

(більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції);

2) f(х₁) > f(х₂), те функція називається спадаючою на множині Х

(більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції);

3) f(х₁) ≤ f(х₂), те функція називається не спадаючою на множині Х;

4) f(х₁) ≥ f(х₂), то функція називається не зростаючою на множині Х.

Зростаючі, не зростаючі, спадаючі і не спадаючі функції на множині Х називаються монотонними на цій множині.

3. Нехай функція у = f(х), визначена на множині Х, тоді якщо для будь-якого х Х виконується умова:

1) f(-х) = f(х), то функція називається парною.

2) f(-х) = - f(х), то функція називається непарною.

Графік парної функції симетричний координатній осі Оу, а непарної - відносно початку координат О.

Наприклад, y = x², y = cos x, y = ln |x| - парні функції, y = sin x, y = x³ - непарні функції.

Якщо функція не є парною або непарною, то вона називається функцією загального вигляду. Наприклад, y = x - 2, y = - функції загального вигляду.

4. Функція у = f(х), визначена на множині Х, називається періодичною на цій множині, якщо існує таке число Т > 0, що для усіх х Х виконуються умови (х + Т) Х і f (х + Т) = f (х). При цьому число Т називається періодом функції. Наприклад, функції y = sin x, y = cos x - періодичні з періодом Т = 2π.

Обернена функція

Нехай задана функція у = f(х) з областю визначення Х і множиною значень Y. Якщо кожному значенню y Y відповідає одно і тільки одно значення х Х, те має місце функціональна залежність x = φ (y) з областю визначення Y і безліччю значень Х. Така функція φ(y) називається оберненою до функції f(х). Таким чином, функції у=f(х) і x = φ (y) є взаємно оберненими. Щоб знайти функцію x = φ (y), зворотну до функції у = f(х) необхідно розв‘язати рівняння f (х) = у відносно х.

Приклади: 1. Для функції оберненою функцією буде ;

2. Для функції, заданої на відрізку [- 1, 1], оберненої функції не існує, тоді як для цієї ж функції заданої на відрізку [0, 1] оберненою функцією є

З визначення оберненої функції виходить, що функція у = f(х) має зворотну у тому випадку, якщо функція f(х) задає взаємно однозначне відображення між областями Х і Y. Очевидно, що будь-яка монотонно зростаюча (монотонно спадаюча) функція має обернену. Помітимо, що графіки взаємно обернених функцій у = f(х) і у = φ(х) симетричні відносно бісектриси першої і третій чверті координатної площини.

Складна функція

Нехай функція z = φ (х) з множиною значень Z, визначена на множині Х і на множині Z також визначена функція у = f(z) з множиною значень Y, тоді функція у = f[φ (х)] називається складною функцією від аргументу х, а змінна z називається проміжною змінною складної функції.

Наприклад, складна функція, визначена на множині (-∞, 0) (-1, +∞), оскільки у = f (z) = , z = φ (х) = .