Вычислительные навыки – это способность выбирать и выполнять для каждого случая вычислений систему операций, составляющую вычислительный прием.
Чтобы овладеть методикой формирования вычислительных навыков, учителю надо знать, какими качествами в современных условиях обучения должен обладать вычислительный навык или показатели его сформированности. Охарактеризуем эти качества.
Правильность – ученик правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием, т. е. правильно находит результат арифметического действия.
Осознанность – ученик актуально осознает теоретическую основу вычислительного приема и в соответствии с этим может обосновать выбор системы операций, составляющей вычислительный прием, т. е. в определенном смысле «доказать» правильность выбора системы операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может дать обоснование выбора системы операций, применяя соответствующие знания. например, выполняя сложение чисел 30 и 26, ученик рассуждает: число 26 заменю суммой разрядных слагаемых 20 и 6, получился пример: к 30 прибавить сумму числе 20 и 6, прибавлю к 30 первое слагаемое 20, получится 50, и к результату, к 50, прибавлю второе слагаемое 6, получится 56. Как видим, ученик сразу «запланировал» прием, основанный на свойстве прибавления суммы к числу, а затем в своем объяснении показал, что использовал это свойство «получился пример: к числу … прибавить сумму» и выстроил все операции в соответствии с одним из способов прибавления к числу суммы. В этом и проявилась осознанность выполнения операций, что характеризует осознанность вычислительного навыка.
Рациональность – ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием: выбирает те из возможных систем операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к нахождению результата арифметического действия. Разумеется, это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая ученику известны различные вычислительные приемы и он выбирает более рациональный. Надо иметь в виду, что на выбор учеником рационального приема могут влиять и субъективные факторы: наиболее – легким может оказаться для него тот вычислительный прием, который он лучше усвоил, хотя этот прием и не будет рациональным, или же ученик может использовать тот прием, который первым воспроизвел, хотя ему известны и другие, более рациональные приемы.
Обобщенность – ученик может применить вычислительный прием к большому числу аналогичных случаев и использовать его в новых условиях, причем новыми условиями, как правило, является новая область чисел, определяемая новым концентром. Например, навык сложения двузначных чисел будет обобщенным, если ученик может сложить любые двузначные числа, а перейдя к новой области чисел, например, к числам в пределах 1000, он может самостоятельно сконструировать прием для случаев аналогичных рассмотренным ранее (так, при сложении чисел 300 и 260 он использует известный ему прием для случаев вида 30 + 26). Это качество навыка образуется благодаря овладению учащимися теоретической основой вычислительного приема, следовательно, обобщенность непосредственно связана с осознанностью вычислительного навыка и определяется ею.
Автоматизм (свернутость) – ученик выбирает и выполняет операции свернуто и предельно быстро. Это качество формируется благодаря специальным упражнениям (об этом речь пойдет дальше). Заметим, что свернутость выполнения операций не исключает осознанности вычислительного навыка, они выступают в единстве: при свернутом выполнении операций осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операции происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование выбора системы операций. По отношению к различным случаям вычислений целесообразно и нужно формировать вычислительные навыки разного уровня свернутости (автоматизации). Самый высокий уровень автоматизации должен быть достигнут по отношению к табличным случаям арифметических действий, а именно- ученик должен сразу же соотносить с двумя данными числами третье число, являющееся результатом: 9 * 6 > 54. Такой уровень необходим потому, что табличные случаи чаще других встречаются в жизни, но главное – все другие случаи вычислений включают в качестве основных операций преимущественно табличные случаи, следовательно, если по отношению к табличным случаям не будет достигнут высокий уровень автоматизма, то возникнут непреодолимые трудности при нахождении результатов для случаев отличных от табличных вследствие обилия операций. По отношению к другим случаям, не являющимися табличными, достигается частичная автоматизация, т. е. автоматизируется выполнение отдельных операций. В этих случаях ученик предельно быстро выбирает и выполняет систему операций, не фиксируя внимания на том, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них.
Прочность – ученик сохраняет сформированные навыки на длительное время. Это качество также тесно связано с другими: благодаря осознанности, обобщенности и свернутости знание систем операций надолго запоминается и быстро восстанавливается в случае забывания.
Современная методика обеспечивает овладение учащимися вычислительными навыками, обладающими названными качествами. Рассмотрим основные положения этой методики.
Общие положения методики формирования у младших школьников вычислительных приемов и навыков
Центральное положение методики формирования вычислительных навыков – это явное раскрытие учащимся теоретической основы вычислительных приемов, суть которого состоит в том, что учащиеся сначала усваивают теоретический материал, являющийся теоретической основой вычислительного приема, а затем на этой базе вводятся вычислительные приемы так, что знание теоретической основы управляет выбором системы операций: учащиеся осознают, какие операции надо выполнить в каждом случае, в каком порядке и почему. Такой подход обеспечивает формирование осознанных, обобщенных и рациональных вычислительных навыков, способствует лучшему усвоению теоретического материала (так как он находит сферу применения), обеспечивает должную мотивацию изучения теоретического материала (ученик понимает, для чего он изучает тот или другой теоретический материал). Этот подход определяет также процесс формирования вычислительных навыков, обладающих всеми названными качествами. Рассмотрим его основные этапы.
В методике работы над усвоением учащимися вычислительных приемов и овладением ими вычислительными навыками предусматриваются такие этапы: подготовка к введению нового вычислительного приема, ознакомление с вычислительным приемом, закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка.
На подготовительном этапе учащиеся должны прежде всего овладеть на соответствующем уровне теоретическим материалом, который является теоретической основой изучаемого вычислительного приема. Так, до введения приема для случаев вида 30 + 26 учащиеся должны усвоить свойство прибавления суммы к числу. В процессе изучения соответствующего теоретического материала ведется определенная подготовка к использованию учащимися приобретенных знаний в качестве теоретической основы вычислительного приема. С этой целью чем предлагаются специальные упражнения. Например, предлагается решить более удобным способом примеры вида: 40 + (10 + 8), после чего выясняется, какое число надо было прибавить к 40 и как прибавляли это число 18 (заменили суммой разрядных слагаемых, сначала прибавили первое слагаемое, 10, а к результату, к 50, прибавили второе слагаемое 8). В каждом конкретном случае предусматриваются свои упражнения, готовящие детей к применению знаний в качестве теоретической основы.
Не менее важной стороной подготовки к ознакомлению с вычислительным приемом является твердое овладение учащимися отдельными операциями, составляющими каждый прием, и в особенности овладение основными операциями. Например, до ознакомления с приемом для случая 30 + 26 необходимо, чтобы учащиеся умели заменять двузначные числа суммой разрядных слагаемых (26 = 20 + 6) и уже владели вычислительными навыками для случаев вида 30 + 20 и 50 + 6.
Таким образом, и подготовительный период учащиеся должны усвоить теоретическую основу вычислительного приема и все операции составляющие прием.
На этапе ознакомления с вычислительным приемом учащиеся должны усвоить сам вычислительный прием: знать, какие операции надо выполнить, в каком порядке и почему можно так находить результат. Это достигается с помощью различных методических приемов.
1) Использование наглядных средств для построения предметной модели вычислительного приема.
При ознакомлении с каждым вычислительным приемом прежде всего следует использовать средства наглядности, с помощью которых создаются предметные или знаковые модели вычислительных приемов. Это главным образом оперирование множествами предметов и использование записей, фиксирующих выполняемые операции. Оперирование множествами целесообразно использовать при изучении вычислительных приемов в концентре «Десяток» и в большинстве случаев в концентре «Сотня», сочетая оперирование множествами с записью, которая должна сопровождаться словесным рассуждением. Например, при ознакомлении с приемом для случая 25 + 3 учащиеся под руководством учителя выполняют операции над множествами, используя полоски с кружками, ведут соответствующую запись: 25 + 3 = (20 + 5) + 3 = 20 + (5 + 3) = 28 и одновременно рассуждают: заменим число 25 суммой разрядных слагаемых, получился пример – к сумме чисел 20 и 5 прибавить 3, удобнее число 3 прибавить к слагаемому 5 и полученный результат 8 сложить с первым слагаемым, с 20-ю, получится 28.
При ознакомлении с рядом вычислительных приемов в концентре «Сотня» и во всех последующих концентрах достаточно использовать только развернутую запись, которая убедительно конкретизирует систему выполняемых операций. Запись и в этих случаях должна сопровождаться рассуждением, выполняемым учащимися под руководством учителя. Наглядность используется на одном - двух уроках, а отдельные учащиеся могут пользоваться ею дольше.
2) Конструирование вычислительных приемов по аналогии.
Опыт работы школы показал, что учащиеся могут самостоятельно конструировать вычислительные приемы для случаев, имеющих аналогию в структуре приемов с ранее изученными. Это легло в основу разработки методических приемов, способствующих активизации учебной деятельности учащихся, а именно: случаи вычислений, имеющие сходство в структуре вычислительных приемов, объединяются в группы; при ознакомлении с приемами каждой группы особое внимание уделяется первому из вводимых приемов, остальные же приемы для случаев вычислений этой группы учащиеся «открывают» сами. Например, приемы для случаев вида а ± 2, а ± 3, а ± 4 сходны по структуре их вычислительных приемов и объединяются в одну группу; при изучении вычислительных приемов для первых из названных случаев учащиеся усваивают идею прибавления и вычитания числа «по частям» и, пользуясь ею, находят приемы для других случаев вычислений, относящихся к этой группе, а позднее переносят на другие случаи вычислений (8 + 4, 15 – 7, 40 ± 12).
3) Использование алгоритмических предписаний выполнения вычислительных приемов имеющих сходство в структуре.
Самостоятельному отысканию учащимися вычислительных приемов помогают и специальные предписания с указаниями («памятки») как находить вычислительный прием. Например, для группы приемов, теоретической основой которых являются свойства арифметических действий – прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы и т. д. (за исключением переместительных свойств), характерно то, что первой операцией является замена одного из чисел суммой или произведением (45 + 20 = (40 + 5) + 20), затем устанавливается, какое математическое выражение получится после замены (к сумме чисел 40 и 5 прибавить 20), далее находят значение полученного выражения удобным способом (прибавить 20 к слагаемому 65). В соответствии с этим детям предлагается пользоваться «памяткой», включающей указания на выполнение названных операций: «1) Заменю… 2) Получился… 3) Удобнее…» Вводится эта «Памятка» при изучении приемов для случаев вида 45 + 20 и 45 + 2. Сначала учащиеся, пользуясь «Памяткой», проговаривают вслух выполнение каждого указания, а затем про себя. В результате этого указания усваиваются настолько, что служат общим методом нахождения новых приемов.
Итак, на этапе ознакомления с новым вычислительным приемом учащиеся должны понять его суть. Показателем этого служит умение выполнить под руководством учителя все операции, составляющие прием, развернутую запись и соответствующее рассуждение.
На этапе закрепления знания приема и выработки вычислительного навыка учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих вычислительный прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т. е. овладеть вычислительным навыком. С этой целью в руководстве формированием вычислительных навыков важно предусмотреть ряд стадий становления вычислительных навыков.
На первой из них закрепляется знание вычислительного приема. Это достигается путем самостоятельного выполнения выполняемых операций. Те, кто еще не справляется с этим, остаются на первой стадии.
Вторая стадия – это стадия частичного свертывания выполнения операций: здесь должно произойти свертывание выполнения только вспомогательных операций и выделение основных. Это достигается тем, что вспомогательные операции дети проговаривают про себя (их выполнение переходит постепенно в план внутренней речи, этим и определяется свертывание), а основные – вслух (это служит их выделению). Например, при формировании вычислительного навыка для случая сложения 45 + 20 учитель предлагает детям при себя выполнить замену числа 45 суммой разрядных слагаемых, про себя сказать, какой получился пример, а вслух сказать, как удобнее решить этот пример, называя только над какими числами и какие арифметические действия надо выполнить (к 40 прибавить 20, получится 60, и к 60 прибавить 5, получиться 65). Учащиеся такую форму комментирования называют кратким объяснением. на этой стадии вместо развернутой записи используется краткая (за исключением большинства приемов письменных вычислений): не фиксируются выполняемые операции, а сразу записывается результат (45 + 20 = 65).
Длительность этой стадии не менее двух – трех уроков.
Третью стадию называют стадией полного свертывания выполнения операций: учащимся предлагается при выполнении вычислений проговаривать про себя выполнение основных операций, что и обеспечивает их свертывание. Однако, при такой организации деятельности учащихся процесс свертывания основных операций отстает от свертывания вспомогательных, т. к. их свертывание началось на предыдущей стадии благодаря чему выполнение вспомогательных операций уходит из сферы явного оперирования и все внимание учащихся сосредотачивается на выполнении основных операций. Таким образом, на этой стадии учащиеся выполняют вспомогательные операции свернуто в плане внутренней речи, а основные проговаривают про себя. Эта стадия довольно длительная, заканчивается она тогда, когда учащиеся смогут «с места», не задумываясь назвать и выполнить основные операции.
Следующая (четвертая) – стадия предельного свертывания выполнения операций. Этой стадией завершается предыдущая: в результате тренировки учащиеся начинают выполнять основные операции, как и вспомогательные, свернуто в плане внутренней речи, т. е. овладевают вычислительным навыком. Это проявляется в том, что учащиеся достаточно быстро, находят результат арифметических действий (в приемах устных вычислений сразу, «с места», а в письменных вычислениях достаточно быстро выполняют основные операции).
Чтобы предупредить забывание полной системы операций, надо время от времени возвращать учащихся на пройденные стадии. Например, когда учащиеся находятся на четвертой стадии, им предлагается при решении одного из примеров выполнить развернутую запись и дать полное объяснение выполняемых операций. Это обеспечит овладение осознанными навыками и вместе с тем поможет овладеть навыками тем учащимся, которых своевременно не произошло свертывание выполнения операций.
На всех стадиях формирования вычислительного навыка учащимся предлагается решение примеров, но в соответствии с целями каждой стадии надо предлагать разные задания: на первой стадии – «решить примеры с объяснением», это означает выполнить развернутую запись приема и прокомментировать выполнение каждой операции; на второй стадии – «решить пример с кратким объяснением», это задание требует выделения и комментирования вслух только основных операций; на третьей стадии – «про себя выполнить краткое объяснение», т. е. про себя прокомментировать выполнение основных операций; на четвертой стадии не следует давать инструкций «как думать» при решении примера, что позволит каждому ученику отправляться от своего уровня сформированности вычислительного навыка, постепенно автоматизируя ею. Овладение учащимися автоматизированными вычислительными навыками достигается путем выполнения ими достаточно большого числа упражнений на вычисления, особенно на третьей и четвертой стадиях. При этом надо предлагать не только решение примеров, но и другие упражнения, включающие соответствующие случаи вычислений: сравнение числовых математических выражений, нахождение значений буквальных выражений при заданных значениях букв, решение уравнений, решение задач и др. Полезно использовать упражнения занимательного характера.
При овладении вычислительными навыками учащиеся часто допускают ошибки, вызываемые смешением вычислительных приемов или же свойств арифметических действий, являющихся их теоретической основой. Например, выполняя внетабличное умножение, учащиеся допускают ошибки вида: 16 * 5 = 56. Здесь ошибка вызвана смешением свойств умножения суммы на число и прибавления к сумме числа: ученик заменил число 16 суммой разрядных слагаемых, а затем умножил на 5 одно из слагаемых суммы (10 * 5 = 50) и к результату прибавил другое слагаемое (50 + 6 = 56). Для предупреждения подобных ошибок надо использовать противопоставление самих приемов, а также свойств, лежащих в их основе.
Итак, для выработки у учащихся полноценных вычислительных навыков необходимо руководить их деятельностью, предусмотрев соответствующие этапы формирования знаний вычислительных приемов, а также учитывая стадии образования вычислительных навыков.
4.Различные методические подходы к формированию вычислительных навыков у младших школьников на современном этапе.
При формировании навыков можно использовать два пути – прямой и косвенный.
Прямой путь предполагает сообщение учащимся образца, алгоритма выполнения операции, на основании которого учащиеся многократно ее выполняют. В результате такой репродуктивной деятельности достигается запоминание предложенного алгоритма и вырабатывается запланированный навык.
Косвенный путь предполагает, в первую очередь включение учеников в продуктивную творческую деятельность, в самостоятельное установление алгоритма операции.
Отличие разных систем обучения заключается не в том, что в одних используется один путь, а в других – другой. В каждой системе присутствуют оба подхода, различие же в том, каково соотношение этих путей. В системах, направленных на развитие учащихся, главным является именно косвенный путь формирования навыков, прямой же используется тогда и в той мере, как это необходимо.
В системе Л. В. Занкова формирование навыков проходит три этапа:
I этап. Поиск путей нахождения результата изучаемого арифметического действия, сравнение найденных способов между собой, выбор наиболее рационального (экономного). Осознание основных положений, лежащих в фундаменте выполнения способа вычисления, создание алгоритма его выполнения.
На этом этапе обязательно прослеживается, оценивается и осознается каждый шаг в рассуждениях детей, устные рассуждения переводятся в запись математическими знаками. Характерным признаком этого этапа является подробная запись выполнения вычислительного приема, с которым в данный момент работают ученики.
На этом этапе практически не используется прямой путь. Он достигается только при выполнении промежуточных, знакомых детям операций, которые входят в изучаемый вычислительный прием в качестве составных операций.
Пример: Как найти значение произведения 21 умножить на 3?
Предполагаемые варианты способов:
1. 21 * 3 = 7 * 3 * 3 = 7 * (3 * 3) = 7 * 9 = 63
2. 21 * 3 = 21 + 21 + 21 = 63
3. 21 * 3 = (9 + 8 + 4) * 3 = 9 * 3 + 8 * 3 + 4 * 3 = 27 + 24 + 12 = 63
Подумай, как можно найти значение произведения 21 * 3 по-другому.
Сравни произведения:
20 * 3, 1 * 3, 21 * 3.
Подумай, как можно найти значение 21 * 3 при помощи первых двух произведений. Сделай подробную запись твоего решения.
21 * 3 = (20 + 1) * 3 = 20 * 3 + 1 * 3 = 60 + 3 = 63
Ответь на вопросы:
Вместо какого числа стоит сумма 20 + 1? Почему вместо числа 21 можно умножить числа 20 и 1?
Сравни этот способ со способами, которые были найдены раньше. Какой способ считаешь самым удобным? Объясни свой выбор.
II этап. Формирование правильного выполнения операций, составляющих вычислительный прием. Для достижения этой цели необходимо не только использование выработанного на I этапе алгоритма, но и дальнейшая работа по его упрощению или усложнению (дополнение алгоритма новыми условиями), что связано с рассмотрение на этом этапе разнообразных частных случаев выполнения усваиваемого арифметического действия, на этом этапе используются оба пути в формировании вычислительных навыков, однако косвенный путь продолжает оставаться ведущим, прямой же используется в качестве подчиненного.
Сравни произведения:
27 * 2 14 * 3 12 * 4
31 * 3 46 * 2 23 * 3
По какому признаку их можно разделить на две группы?
Запиши выделенные группы и укажи признак классификации.
По какому признаку выделена группа:
31 * 3 12 * 4 23 * 3
Найди значения произведений этой группы.
Вычисли оставшиеся произведения и найди их значения, выполнив подробную запись.
IIIэтап Формирование скорости выполнения операций, составляющих вычислительный прием (выработка вычислительного навыка). На этом этапе на первый план выходит прямой путь формирования вычислительного навыка. Главная задача учителя на этом этапе – построить работу так, чтобы дети хотели выполнять необходимые вычисления и получали от этого удовольствие.
Приложение № 1
Программа М.И.Моро и др. УМК «Школа России», 2 класс, концентр «Сотня», раздел «Арифметические действия», тема «Письменные приемы сложения и вычитания»
