Вычислительный прием (прием вычисления) можно определить, опираясь на понятие операции, как элементарной единицы, из которых составляется вычислительный прием. Рассмотрим сначала пример – пусть надо 14 умножить на 6. С этой целью можно выполнить такие операции: 1) заменить число 14 суммой разрядных слагаемых 10 и 4, 2) умножить первое слагаемое, 10, на 6, получится 60, 3) умножить второе слагаемое, 4, на 6, получится 24, 4) сложить полученные результаты 60 и 24, получим 84. Как видим, здесь предусмотрены такие операции и такой порядок их введения, выполнение которых приводит к нахождению результата, т. е. предусмотрена система операций. При этом система операций определялась соответствующим теоретическим положением – в данном случае распределительным свойством умножения (замена числа суммой, умножение на число каждого слагаемого, сложение полученных произведений).
Итак, вычислительным приемом называется ряд последовательных операций (система операций), выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия над данными числами. Система операций в каждом конкретном случае определяется соответствующими теоретическими положениями, называемыми теоретической основой вычислительного приема.
В большинстве случаев для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приемам вычислений. Например, если для рассмотренного случая (14 умножить на 6) использовать в качестве теоретической основы свойство умножения числа на произведение, то будем иметь следующую систему операций: 1) замена числа 6 произведением чисел 3 и 2, 2) умножение числа 14 на первый множитель 3, 3) умножение полученного произведения, 42, на второй множитель 2. Можно использовать и другие положения в качестве теоретической основы, конструируя другие вычислительные приемы. Такая возможность является предпосылкой построения различных систем изучения вычислительных приемов и вместе с тем необходимым условием формирования рациональных вычислительных навыков.
Операции, составляющие вычислительный прием, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции играют особую роль в овладении учащимися вычислительными навыками, а именно: выполнение приема в свернутом плане сводится к выделению и выполнению операций, являющихся арифметическими действиями. Такие операции называют основными, а все другие - вспомогательными. Например, в приеме для случая 14 умножить на 6 операция замены числа 14 суммой разрядных слагаемых – вспомогательная, а все остальные (10 на 6; 4 на 6; 60+24) - основные. Заметим, что все операции, составляющие прием, одинаково важны.
Число операций, составляющих вычислительный прием, зависит от выбора теоретической основы. Так, в рассмотренном примере 14 умножить на 6 первый прием включая четыре операции, а второй – три. Кроме того, при одной и той же теоретической основе число операций зависит и от чисел, над которыми выполняются арифметические действия. Например, прием умножения чисел 16 и 4 будет содержать меньше операций, чем прием умножения чисел 816 и 4.
Обратимся теперь к вопросу классификации вычислительных приемов.
Вычислительные приемы классифицируют по разным основаниям, имея при этом в виду, что деление приемов на группы должно быть рабочим аппаратом.
В современных условиях, когда требуется сформировать осознанные вычислительные навыки, целесообразно прежде всего выделить группы вычислительных приемов по общности их теоретической основы, поскольку теоретическая основа является направляющей в системе операций для целого ряда вычислительных приемов. Такая классификация послужит целям построения эффективной системы изучения вычислительных приемов каждой группы и всей совокупности приемов.
Вычислительные приемы, изучаемые в начальных классах, по общности их теоретической основы можно разделить на шесть групп:
I. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является конкретный смысл арифметических действий.
К ним относятся приемы для следующих случаев: 1) приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида: а ± I (на начальной стадии), а ± 2, а ± 3, а ± 4 и а ± 0 (на начальной стадии); 2) прием нахождения табличных результатов умножения; 3) прием нахождения табличных результатов деления (на начальной стадии) и деления с остатком (на начальной стадии); прием умножения единицы и нуля на натуральное число (на начальной стадии).
II. Вычислительные приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий.
К этой группе относится большинство вычислительных приемов: 1) приемы сложения и вычитания для случаев вида: 2 + 8, 64 ± 20, 56 ± 4, 70 – 8, 9 + 5, 14 – 6, 57 ± 6, 60 ± 17, 75 ± 43, 63 ± 28 и аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших ста; 2) приемы сложения и вычитания для случаев вида 7409 ± 5836 (приемы письменного сложения и вычитания); 3) приемы умножения и деления для случаев вида 19 * 3, 3 * 19, 91: 7, 36 * 40, 360: 40 и аналогичные приемы над большими числами; 4) приемы умножения и деления многозначных чисел на однозначные числа, разрядные двузначные и трехзначные, неразрядные двузначные и трехзначные (приемы письменного умножения и деления).
III. Вычислительные приемы, теоретической основой которых являются математические положения о связях между компонентами и результатами арифметических действий.
К ним относятся: 1) прием вычитания чисел в пределах 10, когда вычитаемое не меньше, чем 5; 2) прием табличного деления (24:6); 3) приемы внетабличного деления для случаев вида: 60: 30, 51: 17 и аналогичные приемы для чисел больших ста; 4) прием деления на единицу (на начальной стадии); 5) прием деления нуля (на начальной стадии).
IV. Вычислительные приемы, теоретической основой которых являются математические положения об изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов.
К этой группе относятся: 1) приемы сложения и вычитания чисел, близких к круглым (46 + 19, 612 – 298); 2) приемы умножения и деления чисел на 5, 25, 50. Эти приемы называют приемами округления чисел.
V. Вычислительные приемы, теоретической основой которых служат теоретические положения, относящиеся к нумерации чисел.
В эту группу входят такие приемы: 1) прибавление и вычитание единицы (а ± 1); 2) выполнение действий сложения и вычитания над разрядными слагаемыми числа: 10 + 8, 8 + 10, 18 – 10, 18 – 8; 3) умножение и деление на 10, 100, 1000.
VI. Эта группа включает приемы: 1) сложение и вычитание с числом нуль: а ± 0, 0 ± А, 0 ± 0 (а > 0); 2) умножение и деление на единицу: а * I, а: I; 3) умножение и деление с числом нуль: а * 0, 0 * а, 0: а (а > 0).
Выделенные шесть групп приемов охватывают все случаи вычислений, изучаемых в начальных классах.
Случаи вычислений принято также делить на устные и письменные. К устным относят случаи выполнения арифметических действий на числами в пределах ста и аналогичные случаи вычислений на числами большими ста, которые легко сводятся к случаям вычислений над числами в пределах 100, например, для случая 8 + 6 аналогичными будут: 80 + 60, 800 + 600 и т. д. К письменным вычислениям относят случаи выполнения арифметических действий над числами большими ста, приемы для которых непосредственно не сводятся к приемам вычислений над числами в пределах ста (587 ± 395, 736 * 27, 4782: 6 и т. п.). Вычислительные приемы для соответствующих случаев принято называть устными и письменными.
Заметим, что случаи устных вычислений в ряде случаев допускают использование различных вычислительных приемов, тогда как письменные вычисления выполняются только одним способом, например, прием письменного сложения – это всегда поразрядное сложение, начиная с единиц первого разряда. При выполнении письменных вычислений для удобства используется особая запись «в столбик». При устных вычислениях тоже используются записи, но они выполняются «в строчку». При этом размечают развернутую запись устного приема вычислений, когда записываются все операции, например: 84 – 3 = (60 + 24): 3 = 60: 3 + 24: 3 = 28, и краткую запись, когда записывается арифметическое действие и результат, например: 84: 3 = 28.
Деление вычислительных приемов на устные и письменные позволяет раскрыть в методике особенности их изучения.
Выделяются «внутри» многих приемов случаи вычислений без перехода и с переходом через разряд, что обусловлено особенностями чисел, над которыми выполняются действия. Например, 452 + 237 будет случаем письменного сложения трехзначных чисел без перехода через разряд, а 452 + 239 и 452 + 289 будут случаями сложения с переходом через один и два разряда, легко установить, что число операций здесь увеличивается от случая к случаю, что указывает на возрастание их сложности. Следовательно, такое выделение случаев вычислений помогает расположить их от простого к сложному.
Вычислительные приемы группируются также по признаку их включения в тот или иной концентр. Так, выделяются приемы сложения и вычитания в пределах 10, в пределах 100, приемы умножения и деления в пределах 100 и т. п.
Из всего разнообразия случаев вычислений выделяются табличные случаи арифметических действий. К ним относятся случаи сложения и вычитания однозначных натуральных чисел и обратные по отношению к ним случаи вычитания, а также случаи умножения однозначных чисел не меньших 2-х, и обратные по отношению к ним случаи деления. Выделение табличных случаев связано с их исключительной ролью в формировании вычислительных навыков, так как почти все вычислительные приемы включают в качестве основных операций табличные случаи вычислений.
